第四章练习题
一、选择题
1. 若向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则下列结论中正确的是( ).
(A) α必可由,βγ线性表示； (B) β必不可由,,αβγ线性表示；
(C) δ必可由,αβ线性表示； (D) δ必不可由,αβ线性表示.
2. 设向量组I ：12,,,r ααα可由向量组II ：12,,,s βββ线性表示，则下面结论中正确的是( ).
(A) 当 r s <时，向量组II 必线性相关； (B) 当r s >时，向量组II 必线性相关；
(C) 当 r s <时，向量组I 必线性相关； (D) 当r s >时，向量组I 必线性相关.
3. 设齐次线性方程组0AX =和0BX =，其中,A B 都是m n ⨯阶矩阵，现有四个命题
（1） 设0AX =的解均是0BX =的解，则秩()A ≥秩()B ;
（2） 若秩()A ≥秩()B ，则0AX =的解均是0BX =的解；
（3） 若0AX =与0BX =同解，则秩()A =秩()B ;
（4） 若秩()A =秩()B ，则0AX =与0BX =同解.
以上命题正确的是( )
(A) (1)(2); (B) (1) (3); (C) (2) (4); (D) (3) (4).
4. n 元向量组12,,
,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充要条件是（ ） （A ） 12,,,s ααα中任何两个向量都线性无关；
（B ）存在不全为零的s 个数12,,
,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++≠； （C ）12,,
,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示； （D ）12,,
,s ααα中任何一个向量都不能用其余向量线性表示.
二、 填空题 1. 设A 是54⨯阶矩阵，()3r A =，1,23,ξξξ是线性方程组AX b =的三个不同的解，且
123(1,2,0,4),(2,1,3,2)T T ξξξ=-+=--，
则A X b =的所有解为 .
2. 设向量组123(1,0,4,5),(2,3,1,5),(0,3,9,15)T T T ααα==-=，则向量组的一个极大线性无关组是 ， 秩是 .
3. 设 123(1,0,1,2),(2,1,2,6),(3,1,,4),(4,1,5,10)T T T T a αααβ=-=--==--，已知β不能由123,,ααα 线性表示，则 a = .
4. 设V 是实数域R 上的全体44⨯阶反对称矩阵所成的线性空间, 即{}44()|,,T ij ij V A a A A a R ⨯===-∈ 写出V 的一组基
V 的维数是 , 设4阶矩阵02312042,340212
20A ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦写出A 在上面这组基下的坐标是 .
5. 向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)T T T T αααα====
的极大线性无关组是 ，用此极大线性无关组表示其余的向量 。
6. 设A 是54⨯阶矩阵, 且()2,r A = 4维列向量0b ≠, 线性方程组AX b =的3个解向量为1(1011)T α=-，，，，1(2,1,1)T α=- ，0，1(1,)T α=2,0,0，则线性方程组AX b =的通解是 .
7. 在2
R 中，由基1(1,2)T α=，2(2,1)T α=到基1(1,1)T β=，2(2,3)T β=的过渡矩阵是 ， 向量(3,1)T ζ=在基12,αα下的坐标是 .
三、计算与证明题
1. 已知向量组1234(1,0,0,3),(0,1,1,2),(1,2,3,1),(1,2,3,)T T T T b b αααα==-=-=-的秩为3，
（1）求b 及1234,,,αααα的一个极大线性无关组；
（2）当b 取上述（1）中所确定的数值时，问4α能否由12,αα线性表示，3α能否由12,αα线性表示.
2. 设有两组向量123(1,0,2),(1,1,0),(1,2,1)T T T αααλ==-=+和123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)T T T βββ==-=-，
（1）求实数λ，使得123,,ααα为3
R 中的一组基，并求基123,,βββ到基123,,ααα的过渡矩阵M ；
（2）已知ξ在基123,,ααα下的坐标为(1,1,0)T ，求ξ在基123,,βββ下的坐标；
（3）取0λ
=，求在基123,,ααα与基123,,βββ下有相同坐标的所有非零向量.
3. 设欧氏空间3R 的一组向量123(1,2,0),(2,1,1),(2,1,5)T T T ααα==-=-
（1）求证：123,,ααα是3R 的一组基；
（2）把123,,ααα改造成3R 的标准正交基123,,βββ；
（3）求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；
(4) 向量δ在基123,,ααα下的坐标是(1,2,0)T ，求向量δ在基123,,βββ下的坐标。
4. 设线性方程组1234512
345131x x x x x x x x x x --+-=⎧⎨+-++=⎩ 1） 求该线性方程组的通解（要求用该方程组的一个特解与对应导出组的基础解系的线性组合之和来表示），
2）写出该方程组解向量集合的一组极大线性无关组.
5. {}
(,,,)|,,,T V a b c d a b c d R =∈,设基I 和基II 分别为 1234(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0),T T T T e e e e ====
1234(1,1,1,1),(0,1,1,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1),T T T T εεεε====
1）求基I 到基II 的过渡矩阵；
2）分别求向量(4,3,2,1)T α=在基I 和基II 下的坐标；
3）求一个向量β，它在基I 和基II 下具有相同的坐标.
6. 已知向量组1011β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,221a β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 310b β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与向量组1123α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
,
2301α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,3967α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
具有相同的秩, 且3β可由123,,ααα线性表示, 求,a b 的值, 并写出3β由123,,ααα线性表示的表示式(只需写出一种表示式).
7. 设V 是实数域R 上的全体22⨯阶矩阵，即
22,,,,a b V R A a b c d R c d ⨯⎧⎫⎛⎫⎪⎪===∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
V 的运算是普通矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，V 对于这两种运算成为线性空间，V 的子集合
11;,,,,a b V a b c d a b c d R c d ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=+++=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭ 20;,,,,a b V a b c d a b c d R c d ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=+++=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
问V 的子集合1V 和2V 对于V 中的运算是否成为V 的子空间（要说明理由）？写出该子空间的一组基，并且求出它的维数.
8. 设A 为n 阶矩阵，b 为n 维非零列向量，12,X X 为AX b =的两个不同的解，0X 为0AX =的解，
（1） 证明12,X X 线性无关；
（2） 若A 的秩为1,n - 则012,,X X X 线性相关.
9. 设向量组12112,,,,,n αααββ-都是n 维向量，121,,,n ααα-线性无关，且与12,ββ都正交，求证：12,ββ线性相关.
(1). 设12,,,k ξξξ是齐次线性方程组0AX =的k 个线性无关的解，
η是线性方程组(0)AX b b =≠的解，求证 12,,,
,k ηξξξ线性无关. (2). 设A 为m n ⨯阶矩阵()m n <，且()r A m =，B 为()n n m ⨯-阶矩阵，且()r B n m =-，已知0AB =，且n 维非零列向量η是齐次方程组
0AX =的解，求证存在唯一的n m -维列向量ξ，使得B ηξ=. (答案见讲稿)
10. 设V 是欧氏空间，β是V 中的非零向量，12,,,s ααα是V 中的s 个向量，求对于任
意的k ，(),0,k βα>当i j ≠时，()
,0i j αα≤，求证：12,,
,s ααα是线性无关的。
11. 设A 是m n ⨯矩阵, B 是m t ⨯矩阵, (),r B t = 令()(,),m n t C A B ⨯+= (1)(2)(),,,r X X X 为齐次线性方程组0CX =的一个基础解系, 设()()0()1i i i X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 这里
()0i X 是()i X 的前n 个元素, ()1i X 是()i X 的后t 个元素(1,2,,i r =), 求证:
(1)(2)()000,,,r X X X 线性无关.
12. 设A 是m n ⨯阶矩阵，b 是n 维非零列向量，n 维列向量0ξ是线性方程组AX b =的一个解，12,,,s ηηη是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，求证：001020,,,,s ξξηξηξη+++是线性方程组AX b =的解集合中的一个极大线性无关组.。