第 2 章符号计算符号计算：解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。
符号计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，所得结果完全准确。
特点：一．相对于MATLAB的数值计算“引擎”和“函数库”而言，符号计算的“引擎”和“函数库”是独立的。
二．在相当一些场合，符号计算解算问题的命令和过程，显得比数值计算更自然、更简明。
三．大多数理工科的本科学生在学过高等数学和其他专业基础课以后，比较习惯符号计算的解题理念和模式。
2.1符号对象和符号表达式MATLAB依靠基本符号对象（包括数字、参数、变量）、运算符及一些预定义函数来构造和衍生符号表达式和符号方程。
2.1.1基本符号对象和运算算符1.生成符号对象的基本规则●任何基本符号对象（数字、参数、变量、表达式、函数）都必须借助专门的符号命令sym、syms、symfun定义。
●任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。
2.精准符号数字和符号常数符号（类）数字的定义：sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号数字（推荐格式!）sc=sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号常数sc（推荐格式!）说明：若输入量Num是精准的浮点数（如0.321、10/3等），能生成精准的符号数字；若输入量Num是诸如sin(0.3)的数值表达式，那么就只能生成由数字表达式获得的16位精度的近似符号数字。
sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号数字sc=sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号常数sc说明： Num必须处于（英文状态下的）单引号内，构成字符串（关于字符串参见附录A）；只有当字符串数字'Num'采用诸如321/1000、10/3等整数构成的有理分数形式表达时，sym('Num') 才能生成精准的符号数字；若字符串数字用诸如0.321、3.21e-1等“普通小数或科学记述数”表达，那么只能产生“近似符号数字”。
在默认情况下，该近似符号数字为32位精度。
【例2.1-1】（1）创建完全精准的符号数字或数字表达式clear allR1=sin(sym(0.3)) % 输入量为普通小数R2=sin(sym(3e-1)) % 输入量为科学记述数R3=sin(sym(3/10)) % 输入量为有理分数R4=sin(sym('3/10')) % 输入量为“整数构成的有理分数”字符串数字disp(['R1属于什么类别？答：',class(R1)])disp(['R1与R4是否相等？（是为1，否为0）答：',int2str(logical(R1==R4))]) R1 =sin(3/10)R2 =sin(3/10)R3 =sin(3/10)R4 =sin(3/10)R1属于什么类别？答：symR1与R4是否相等？（是为1，否为0）答：1（2）产生具有32位精度的“近似”符号数字（杜绝使用！）S1=sin(sym('0.3')) % sym的输入量是字符串小数，生成32位精度下的% 近似符号数，进而在sin作用下给出近似符号数。
S2=sin(sym('3e-1')) % syms的输入量是字符串科学记述数。
eRS=vpa(abs(R1-S1),64);disp(['S1属于什么类别？答：',class(S1)])disp(['S1与R1是否相同？答: ',int2str(logical(R1==S1))])disp('S1与R1的误差为')disp(double(eRS))S1 =0.29552020666133957510532074568503S2 =0.29552020666133957510532074568503S1属于什么类别？答：symS1与R1是否相同？答: 0S1与R1的误差为6.3494e-41（3）产生具有16位精度的“近似”符号数字（杜绝使用！）F1=sym(sin(3/10)) % sym的输入量为双精度表达式sin(3/10)，% 就只能创建出仅16位精度的近似符号数。
F2=sym(sin(0.3)) % 同上eFS=vpa(abs(F1-S1),32);disp(['F1属于什么类别？答：',class(F1)])disp(['S1与F1是否相同？答: ',int2str(logical(F1==S1))])disp('F1与S1的误差为')disp(double(eFS))F1 =5323618770401843/18014398509481984F2 =5323618770401843/18014398509481984F1属于什么类别？答：symS1与F1是否相同？答: 0F1与S1的误差为2.8922e-173.基本符号变量经典教科书里，表达式e-ax sinbx中的a,b称为参数，x为变量。
在MATLAB的符号计算中，a、b、x统称为基本符号变量，其中，x总被默认为“待解（自由）符号变量”，其他被作为“符号参数”处理。
定义基本符号变量的命令格式：para=sym(' para') 定义单个复数域符号变量parapara=sym(' para', 'Flag') 定义单个Flag指定域符号变量parasyms para 定义单个复数域符号变量para的另一种方式syms para Flag 定义单个Flag指定域符号变量para的另一种方式syms para1 para2 paraN 定义多个复数域符号变量para1 para2 paraN syms para1 para2 paraN Flag 定义多个Flag指定域符号变量para1 para2 paraN●符号参数名不要用处于“字母表中小写字母x及其两侧的英文字母”开头。
●Flag表示数域的限定性假设，可具体取以下词条：positive 正实数域；real 实数域。
●默认值是复数域符号变量●sym命令只能对单变量作用，syms不能用于对数值、常数相关的定义。
4.符号计算中的各种算符●与数值计算中的算符在形状、名称和使用方法上相同。
2.1.2符号计算中的函数命令2.1.3符号表达式和符号函数1. 符号表达式和符号函数（1）为表达某种数学算式、实现某种计算目的，采用基本符号对象（数字、常数、变量）、运算符、MATLAB函数命令等基本要素编写而成的M码。
（2）为表达变量间抽象（或具体）约束关系而编写的M码。
在符号函数中，构成函数关系的变量名必须明确指定。
即，在定义符号函数时，不仅要指定函数名，而且要指定变量名。
比如syms f（x,y）就定义了一个以x、y为变量的抽象符号函数f。
2 自由符号变量解题通常是围绕自由符号变量进行。
确定自由符号变量的规则：●在专门指定变量名的符号运算中，解题一定围绕指定变量名进行。
●x是首选自由符号变量，其后的次序规则是：与x的ASCII码值之差的绝对值小的字母优先；差绝对值相同时，ASCII码值大的字母优先。
●自动识别符号变量时，字母的优先次序为x,y,w,z,v等，大写后排。
自动识别表达式中自由、独立的符号变量的命令：symvar(expression) 列出表达式中的所有基本符号变量symvar(expression, n) 列出表达式中n个认定的自由变量【例2.1-2】1）各种符号对象的创建clearsyms a b c x y u v % 定义基本符号对象 syms F(X,Y,Z) % 定义“抽象”符号函数 k=sym(3) % 定义符号常数 G=sym('p*sqrt(q)+r*sin(t)') % 创建符号表达式EXPR=a*G*u+(b*x^2+k)*v % 创建“衍生”符号表达式 f(x,y)=a*x^2+b*y^2-c % 创建“具体”符号函数 disp(F) % 显示抽象符号函数 k = 3 G =p*q^(1/2) + r*sin(t) EXPR =v*(b*x^2 + 3) + a*u*(p*q^(1/2) + r*sin(t)) f(x, y) =a*x^2 + b*y^2 - c F(X, Y, Z)symbolic function inputs: X, Y, Z2）symvar 对EXPR 符号表达式的作用symvar(EXPR) % % ans =[ a, b, p, q, r, t, u, v, x]symvar(EXPR,20) % ans =[ x, v, u, t, r, q, p, b, a]symvar(EXPR,1) % ans = x3）symvar 对符号函数的作用disp(symvar(f)) % [ a, b, c, x, y]disp(symvar(f,2)) % [ x, y]【例2.1-3】用符号法求方程2uw zw v +=的解。
1）产生符号表达式和符号函数clearsyms u v w z %Eq=u*w^2+z*w-v % 表达式 g(z)=u*w^2+z*w ==v % 函数Eq =u*w^2 + z*w - v g(z) =u*w^2 + z*w == v2）symvar 认定的自由变量symvar(Eq,1) %<5>ans =wsymvar(g(z),1) % <6>ans =w3）solve对默认自由变量解方程R1=solve(Eq) % 关于w解方程u*w^2+z*w-v=0 <7>R2=solve(g) % 关于w解g（z）所表达的方程 <8>R1 =-(z + (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u)-(z - (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u)R2 =-(z + (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u)-(z - (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u)4）对变量z求解S1=solve(Eq,z) % <9> S2=solve(g(z),z) % <10> S1 =(- u*w^2 + v)/wS2 =(- u*w^2 + v)/w5）检验求解结果的正确性disp(simplify(subs(Eq,z,S1))) % S1代替z，观察Eq是否为0disp(simplify(g(S2))) % S2代替z，观察g(S2)方程式是否成立TRUE〖说明〗不要把g(z)理解为以z为自由变量的符号函数。