高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；（重点）函数 f (x)在x0 连续lim ( ) ( )f x f x x x第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、介值定理及其推论.（二）极限1、定义1）数列极限lim n x a 0,N , n N , nxna2）函数极限lim x x0 f ( x) A 0, 0, x,0 x x f ( x) A当时，第 1 页共12 页左极限： f ( x0 ) lim f ( x)x x0 右极限：( ) lim ( )f 0 f xxx xlim x x0 f ( x) A f ( x ) f ( x )存在0 02、极限存在准则1）夹逼准则：1）y n x n z n ( n n0 )2）y z alim lim lim x an n nn n n2）单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小（大）量1）定义：若lim 0 则称为无穷小量；若lim 则称为无穷大量.2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1 ~ o( ) ;Th2 ~ , ~ , lim 存在，则lim lim （无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：（重点）1sin x 1xxa) lim 1x b) 1 x e0 x x 0 xlim ( ) lim (1 )x 5）无穷小代换：（x 0 ）（重点）a) x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x 第 2 页共12 页高等数学（上）知识点b)11 cos x ~ x22x 1 ~ （a x 1 ~ x ln a ）c) e xd) ln( 1 x) ~ x （xlog ）(1 x) ~aln ae) (1 x) 1 ~ x二、导数与微分（一）导数1、定义： f ( x0 ) limx xf ( x) f0 x x( x)左导数： f ( x0 )f ( x) f (lim0 x xx xx)右导数： f ( x0 )f ( x) f (lim0 x xx xx)函数 f ( x) 在x0 点可导( ) ( )f x0 f x2、几何意义： f ( x0 ) 为曲线y f ( x) 在点x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；（重点）2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；（重点）5）隐函数求导数；（重点）6）参数方程求导；（重点）第 3 页共12 页7）对数求导法. （重点）5、高阶导数2d y d dy 1）定义：2dx dx dx2）Leibniz 公式：n( n )uv Ck 0kn( k ) ( n k )u v（二）微分1）定义：y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o( x) ，其中 A 与x 无关.2）可微与可导的关系：可微可导，且dy f (x0 ) x f ( x0 ) dx三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、Rolle 定理：（重点）若函数 f (x)满足：1） f ( x) C [ a, b] ； 2 ）f ( x) D ( a,b) ； 3 ）f (a) f (b) ；则( a, b), 使f ( ) 0 .2、Lagrange 中值定理：若函数 f (x)满足：1） f ( x) C [ a, b] ； 2 ）f ( x) D ( a,b) ；则(a, b), 使f (b) f (a) f ( )( b a) .3、Cauchy中值定理：若函数 f ( x), F ( x) 满足：1）f ( x), F (x)C[a, b] ；2）f ( x), F ( x) D (a, b) ；3）F ( x) 0, x (a,b)则( a,b), 使fF(b(b))fF(a( a))fF(())第 4 页共12 页（二）洛必达法则（重点）（三）Taylor 公式（不考）（四）单调性及极值1、单调性判别法：（重点）f (x) C [ a, b] ，f ( x) D (a,b)，则若 f ( x) 0 ，则 f (x)单调增加；则若 f ( x) 0 ，则 f ( x) 单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件： f ( x) 在x0 可导，若x0 为f ( x)的极值点，则( ) 0f x .b) 第一充分条件：（重点） f ( x) 在x0 的邻域内可导，且( ) 0f ，xc) 则①若当x x0 时， f ( x) 0 ，当x x0 时， f ( x) 0 ，则x0 为极大值点；②若当x x0 时， f ( x) 0 ，当x x0 时， f ( x)0 ，则x0 为极小值点；③若在x0 的两侧 f ( x)不变号，则x0 不是极值点.d) 第二充分条件：（重点） f ( x) 在x0 处二阶可导，且( ) 0f x ，f x ) 0 ，(e) 则①若 f ( x0 ) 0 ，则x0 为极大值点；②若 f ( ) 0 ，则x0 为极小值x点.3、凹凸性及其判断，拐点1）f ( x) 在区间I 上连续，若x x f ( x ) f ( x )1 2 1 2x ，则称 f ( x)在, x I , f ( )1 22 2区间I 上的图形是凹的；若x x f ( x ) f ( x )1 2 1 2x ，则称 f ( x)在, x I , f ( )1 22 2区间I 上的图形是凸的.2）判定定理（重点）： f ( x)在[ a, b]上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a) 若x ( a,b), f ( x)0 , 则 f ( x) 在[ a,b] 上的图形是凹的；第 5 页共12 页高等数学（上）知识点b) 若x ( a,b), f ( x)0 , 则 f ( x) 在[ a,b] 上的图形是凸的.3）拐点：设y f ( x)在区间I 上连续，x0 是f ( x) 的内点，如果曲线y f ( x)经过点( x0 , f ( x0 )) 时，曲线的凹凸性改变了，则称点( x0 , f ( x0 )) 为曲线的拐点. （五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；（重点）3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线：lim f ( x)，则x a 为一条铅直渐近线；x a2、水平渐近线：lim f ( x) b ，则y b 为一条水平渐近线；xf ( x)3、斜渐近线：lim k f x kx blim [ ( ) ] 存在，则y kx b 为一条斜x xx渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质第 6 页共12 页1、原函数：在区间I 上，若函数 F ( x) 可导，且 F ( x) f ( x) ，则F ( x)称为f ( x) 的一个原函数. （重点）2、不定积分：在区间I 上，函数 f ( x)的带有任意常数的原函数称为 f ( x) 在区间I 上的不定积分.3、基本积分表（P188，13 个公式）；（重点）4、性质（线性性）.（二）换元积分法（重点）1、第一类换元法（凑微分）： f [ ( x)] ( x)d x f (u ) du u ( x)f ( x)d x f [ (t )] (t )dt 2、第二类换元法（变量代换）：1t ( x)（三）分部积分法：udv uv vdu （重点）（四）有理函数积分1 、“拆”；2 、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：nb1、定义：a f ( x)dx lim f (i 1i) xi2、性质：（7 条）性质7 （积分中值定理）函数 f ( x) 在区间[ a,b]上连续，则[ a,b]，使第7 页共12 页ba f ( x)d x f ( )(b a)（平均值： fbf ( x ) dxa( ）)b a（二）微积分基本公式（N—L 公式）（重点）x1、变上限积分：设( x) ( ) ，则( x) f ( x)f t dtad x( )推广： f (t)dt f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)( x)dxb2、N—L 公式：若F ( x)为f ( x ) 的一个原函数，则 f ( x ) dx F ( b) F ( a )a（三）换元法和分部积分（重点）b1、换元法： f x dx f t t t( ) [ ( )] ( )d aba udv uv babavdu 2、分部积分法：（四）反常积分1、无穷积分：atf ( x)d x lim f ( x)t adxb bf ( x)d x lim f ( x)ttdxf( x)d x f ( x)dx f ( x) d x2、瑕积分：b abf ( ) lim ( x ) dx （a为瑕点）x dx ftt ab atf ( )dx lim ( ) （b为瑕点）x f x dxat b第8 页共12 页高等数学（上）知识点两个重要的反常积分：, p 1dx1 pap1) , 1a xp p 12)dxdxbba q(x a)a q(b x)(b11a)qq, q 1, q 1六、定积分的应用（一）平面图形的面积b1、直角坐标：A[ f ( x ) f ( x )] dx2 （重点）1a1 222、极坐标： A [ ( ) ( )] d2 12第9 页共12 页高等数学（上）知识点（二）体积1、旋转体体积：（重点）a) 曲边梯形y f ( x ), x a , x b , x 轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：b2V x f ( x ) dxab) 曲边梯形y f ( x ), x a , x b , x 轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：bV y 2 xf ( x)dx （柱壳法）abdx2、平行截面面积已知的立体：V A ( x)a（三）弧长b1 f ( x ) 2as dx 1、直角坐标：2 22、参数方程：s t t dt( ) ( )2 23、极坐标：s ) ( d( )七、微分方程（一）概念第10 页共12 页高等数学（上）知识点1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数 .通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同 .特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程 （重点）g ( )( ) ，两边积分 g ( y)dy f ( x)dxy dyf x dx（三） 齐次型方程dy dx( y x) ，设 yu，则x dy dx uxdu dx；dx x 或 ( ) dy y，设 xv ，则y dx dy vydv dy（四） 一阶线性微分方程 （重点）dy dxP ( x) yQ ( x)P ( x ) dxP ( x ) dx 用常数变易法或用公式：y eQ x e dx C( )（五） 可降阶的高阶微分方程( n )1、 y f ( x )，两边积分 n 次； 2、 yf ( x, y ) （不显含有 y ），令 y p ，则 yp ；3、 yf ( y , y ) （不显含有 x ），令 yp ，则y pdp dy（六） 线性微分方程解的结构第11 页共12 页高等数学（上）知识点1、y1 , y 是齐次线性方程的解，则C1 y1 C 2 y2 也是；22、y1 , y2 是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1 y1 C 2 y2 是方程的通解；3、*y 为非齐次方程的通解，其中y1 , y2 为对应齐次方程的C1 y C y y1 2 2线性无关的解，* y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程（重点）二阶常系数齐次线性方程：y py qy 02 pr qr ，特征根：r1 , r2特征方程：0特征根通解实根r 1 r2y C e1r x r1 2Ce2xr 1 r2p2y ( C C x ) e1 2r x1x r i1 y e (C1 cos x C2 sin x ),2（八）常系数非齐次线性微分方程y py qy f ( x)x1、f ( x) e P ( x)m（重点）0,λ不是特征根* x e Q xk x设特解y ( )m，其中k1, λ是一个单根2,λ是重根x ( ) cos ( ) sin2、 f x e P x x P x x( )l n，* (1) ( 2)k x ( ) cos ( ) sin设特解y x e R x x R x xm m0,i不是特征根k 其中m max{ l,n} ，1, i是特征根第12 页共12 页。