2011考研：高数组合积分法对几类积分进行求解0 引言及定义积分在微积分中占有极为重要的地位,它与微分比较,难度大,方法灵活,掌握积分的基本方法(如换元法,分部积分法等)是十分必要的,但这是远远不够的,还必须掌握一些特殊的积分方法,以便能顺利、快速、准备地计算出函数的积分来.组合积分法是一种全新的积分方法,它能顺利解决用传统积分法很难求解甚至不能求解的各类函数有理式的积分问题.华罗庚教授在他的著作《高等数学引论》一书中,举出了这样一个求不定积分的例子：求 dx x b x a x T ⎰+=sin cos sin 1,dx xb x a xT ⎰+=sin cos cos 2 .我们可以用代换2tan xt =,分别求出1T 与2T ,但还有更简单的方法,即)2(,sin cos ln )sin cos ()sin cos (sin cos cos sin )1(,221121C x b x a x b x a x b x a d dx x b x a x b x a bT aT C x dx aT bT ++=++=++-=+-+==+⎰⎰⎰由此可得,,]sin cos ln [1221C x b x a a bx b a T ++-+=,]sin cos ln [1'222C x b x a b ax ba T ++++= 华教授的解法为什么可以简化运算呢？在这里,他巧妙地两个结构相似的积分 组合在一起,成为一个以所求积分为变量的 1T ,2T 的二元方程组,解此方程组,即得所求不定积分,像这样用解方程组求解问题的方法称为组合法,用组合法求积分的方法称为组合积分法.用组合法求解积分问题的关键,是在式(2)中利用了凑微分公式(-asinx+bcosx)dx=d(acosx+bsinx).下面给出一些定义：定义1 设函数()f x 与()g x 为可导函数,如果'()()f x g x α=,且'()()g x f x α=,( α为任意常数),那么称()f x 与()g x 为互导函数,若'()()f x g x α=, 且'()()g x f x α=,则称()f x 与()g x 为相反互导函数,α为互导系数.定义 2 设函数()y f x =为可导函数,如果'()()f x f x ω=( ω为任意常数),那么,称函数()y f x =为自导函数,ω为自导系数.组合积分法分为两大类型,即参元组合法与分解组合法.在求一个积分I 时,找出另一个与I 结构相似的积分J,然后将两个积分组合起来,通过解I 与J 的方程组求解积分的方法叫做参元组合法.将一个积分分为两个结构相似的积分为I 与J,将I 与J 组成一个方程组,解方程组即得积分I 与J,最后将I 与J 联合成所要求的积分,这种求积分的方法叫做分解组合法.1 三角函数有理式的积分１.１ 含有 ()nx b x a cos sin +的积分对于分母含有()nx b x a cos sin +的三角函数有理式的积分,可考虑使用组合积分法,先证明两个递推公式.定理1 设)arctan ,1(,)cos sin (a bk x n x b x a dx J nn -≠>+=⎰π则 ])cos sin (cos sin )2[())(1(11122--+-+-+-=n n n x b x a xa xb J n b a n J . 证 由()nn n n n n n n n J n dx x b x a b a n x b x a x a x b dx x b x a x a x b n x b x a x a x b x b x a d x a x b x b x a xa xb x b x a x a x b d x b x a dxx b x a J )1()cos sin ()()1()cos sin (cos sin )cos sin ()cos sin ()1()cos sin (cos sin )cos sin ()cos sin ()cos sin (cos sin )cos sin ()cos sin (cos sin )cos sin (2221221111+++++-+-=+-+-+-=+--+-=+-=++=⎰⎰⎰⎰⎰++++++++所以有1222)cos sin (cos sin ))(1(+++--++=n n n x b x a xa xb J b a n nJ 将n-2代替式中的n,得,)cos sin (cos sin ))(1()2(1222--+--+-=-n n n x b x a xa xb J b a n J n故得递推公式].)cos sin (cos sin )2[())(1(11222--+-+-+-=n n n x b x a xa xb J n b a n J 定理2 设,)cos sin (⎰+=nn x b x a dxJ ,2211b a bb aa A ++= 2211b a ba ab B +-= 则 ).arctan ,1.(,)cos sin (11)cos sin (cos sin 1111a bk x n x b x a n B AJ dx x b x a x b x a I n n n -≠>+--=++=--⎰π 证 用组合积分法来证明.令,)cos sin (sin 1dx x b x a x I n⎰+= ,)cos sin (cos 21dx x b x a x I n ⎰+= 则 121)cos sin (111)cos sin ()cos sin (-+--=++=+-⎰n n x b x a n x b x a x b x a d aI bI 所以有,)cos sin (1111221221--+-+++=n n x b x a n b a b J b a a I .)cos sin (1111221222--+-+-+=n n x b x a n b a a J b a b I 于是有.)cos sin (11)cos sin (1111112211122112111----+--=+-+--++=+=n n n n x b x a n B AJ x b x a n b a ba ab J b a bb aa I b I a I要记住这两个递推公式不是一件容易的事情,实际上只需记住递推公式的证明思路,直接用组合积分法求解即可.１.２ 含有a+bsinx 与c+dcosx 的积分例1 求⎰+.sin 1sin dx xx解法1 令=I ⎰+.sin 1sin dx x x ⎰-=.sin 1sin dx xxJ 则 x x dx x dx x dx xxJ I x dx xx dx x x J I 2tan 2)1(sec 2tan 2sin 1sin 2,cos 2cos sin 2.sin 1sin 22222222+-=--=-=--=-==-=+⎰⎰⎰⎰⎰所以有 I=C x x x++-tan cos 1解法2 C x x x dx x x x dx x x ++-=-=+⎰⎰tan cos 1cos sin sin .sin 1sin 22 解法3 用代换 ,2tanu x = ,12sin 2u u x += ,122u dudx += 所以有 .)1)(1(41212112.sin 1sin 22222du u u u u du u u u u dx x x ⎰⎰⎰++=++++=+ 显然以上解法太繁,不宜采用.事实上,将原积分化为,sin 1.)sin 111(⎰⎰⎰+-=+-xdxdx dx x 再对后一积分做代换,2tan u x = ,12sin 2u u x +=,122u dudx += 则有 .2tan 1212)1(2121211sin 1222xu u du u du uu xdx+-=+-=+=+++=+⎰⎰⎰ 所以有 .2tan12sin 1sin C x x dx xx+++=+⎰显然用解法2较简单,但较复杂的情形用解法1较好. 例2 求⎰++=dx xd c xb a I cos cos 11 (dc >)解 设 ⎰+=,cos 1x d c dx I ,cos 2⎰-=xd c dxI 则x dxd x c c xd c dx c I I 222222221cos sec 12cos 2⎰⎰-=-=+ ,tan arctan 2)tan ()tan (22222222dc x cd c x c d c x c d --=+-=⎰),(sin sin 2cos cos 2222222221x d x d d c d dx xd c x d I I ⎰⎰+--=--=- 2222sin arctan2dc xd dc ---=所以有 )sin arctantan (arctan1222221dc xd dc x c dc I --++=22222222sin tan 1sin tan arctan1d c x d d c x c d c xd x c d c --+---=,cos sin arctan12222xc d xd c dc +--=上述结果与查表求得的结果一致,可见用组合积分法能顺利地求出积分表中较难的积分公式.此公式如用万能代换,令 来求出,将是比较困难的. １.３ 有a+bsinxcosx 的积分例3 求 ⎰+=.cos sin 1cos dx xx xI 解 这里如果用万能代换,设,2tan u x=,则,11cos 22uu x +-= ,12sin 2u u x += ,122u du dx += 原积分可变为.1222)1(2)1(2)1()1(212111211123422222222222⎰⎰⎰+++--=-++-=++-+++-=u u u u du u u u u du u u du u u u u u u I 以上有理函数的积分,要求出开相当困难,如果改用组合积分法将能很快地求出.令 ⎰+=,cos sin 1sin dx x x xJ 则有 ⎰⎰⎰---=+-=++=+2)cos (sin 3)cos (sin 2cos sin 22)cos (sin 2cos sin 1cos sin x x x x d x x x x d dx x x x x J I ,cos sin 3cos sin 3ln31xx x x +--+=⎰⎰⎰+++=++=+-=-,)cos (sin 1)cos (sin 2cos sin 22)cos (sin 2cos sin 1sin cos 2x x x x d x x x x d dx x x x x J I ).cos arctan(sin 2x x +=所以Cx x xx x x J C x x x x x x I ++-+--+=++++--+=)]cos arctan(sin 2cos sin 3cos sin 3ln 31[21.)]cos arctan(sin 2cos sin 3cos sin 3ln 31[21还有许多含有asecx+btanx 、acscx+bcotx 、b+atanx 、atanx+bcotx 等形式的积分可化为以上类型进行积分计算2 指数函数有理式的积分指数函数 x e 与x a 具有自导性,x e 与x e -、x a 与x a -的代数和具有互导性,这就为凑微分提供条件,这里主要用到以下的凑微分公式： ),()(x x x x e e d e e ---=+),()(x x x x e e d e e --+=-一般的指数函数x a 与)1,0(≠>-a a a x 也有类似的凑微分公式：),(ln 1)(x x x x a a d a a a ---=+ ),(ln 1)(x x x x a a d aa a --+=- 这就为使用组合积分法提供了保证.２.１ 有 n x x be ae )(-+ 积分.对于分母n x x be ae )(-+ 的指数函数有理式的积分,也和三角函数有理式的积分一样,可以考虑使用组合积分法求解.证明两个递推公式 定理1 设⎰-+=nx x n be ae dxJ )(, )0,1(≠>ab n 则 ],)()2[()1(4112----+-+--=n x x xx n n be ae be ae J n n ab J 证 因为 ⎰⎰+---+-=+=1)()()(n x x x x n x x n be ae be ae d be ae dx J dx be ae be ae n be ae be ae n x x x x n x x x x ⎰+--+--+-+++-=221)()()1()( = n n x x x x x x n x x x x J n dx be ae ae ae be ae n be ae be ae )1()()()()1()(2221++++--+++-⎰+---+--=n n x x n x x x x J n dx be ae abdxn be ae be ae )1()(4)1()(21++++-+-⎰+-+-- 所以有 12)()1(4+--++--+=n x x xx n n be ae be ae J n ab nJ 用n-2代替上式中的n,得12)()1(4)2(----+---=-n x x xx n n be ae be ae J n ab J n 故得递推公式])()2[()1(4112----+-+--=n x x xx n n be ae be ae J n n ab J 定理2 设 ⎰-+=nx x n be ae dxJ )(, ab ba ab B ab ab ba A 2,21111-=+= 则 ).0,,1(,)(11)(1111≠∈>+-+=++=-----⎰ab N n n be ae n B AJ dx be ae e b e a I n x x n n x x x x 证 令 ,)(,)(21⎰⎰---+=+=nx x x n x x x be e a dxe I be ae dx e I则有 ,121-=+n J bI aI.)(111)()()(121------+--=++=+-=-⎰⎰n x x n x x x x n x x x x be ae n be ae be ae d dx be ae be ae bI aI 所以 ],1)(111[2111-+--=--n be ae n J a I x x n ].1)(111[2112-+-+=--n be ae n J b I x x n 于是有 1111112111)(12112---+--++=+=n x x n be ae ab ba ab n J ab a b ba I b I a I 11)(11---+-+=n x x n be ae n B AJ这两个定理主要是给出用组合积分法求解此类积分问题的解题思路. ２.２ 含有n x x qa pa )(-+的积分用组合积分法证明下列递推公式给出解题思路.定理1 设n 为正整数,且0,1≠>pq n ,并另⎰-+=nx x n qa pa dxJ )(,则有递推公式])(ln 1)2[()1(4112+---+-+--=n x x xx n n qa pa qa pa a J n n pq J .证 由⎰⎰+---+-=+=1)()(ln 1)(n x x x x n x x n qa pa qa pa d a qa pa dx J =])()(ln )1()([ln 1221dx qa pa qa pa a n qa pa qa pa a n x x x x n x x x x ⎰+--+--+-+++-n n x x x x x x n x x x x J n dx qa pa qa pa qa pa n qa pa qa pa a )1()()()()1()(ln 11221++++--+++-=⎰+---+-- n n x x n x x x x J n dx qa pa pqn qa pa qa pa a )1()(4)1()(ln 121++++-+-=⎰+-+-- 所以有.)(ln 1)1(412+--++--+=n x x xx n n qa pa qa pa a J n pq nJ 用n-2代替上式中的n,得.)(ln 1)1(4)2(12----+---=-n x x xx n n qa pa qa pa a J n pq J n 故得递推公式].)(ln 1)2[()1(4112+---+-+--=n x x xx n n qa pa qa pa a J n n pq J定理2 设0,,1≠∈>pq N n n ,并令 pqqa pb B pq pb qa A 2,21111-=+=则有递推公式 1211)(1ln 11)(-----+-+=++=⎰n x x n nx x x x qa pa a n B AJ dx qa pa a b a a I .证 令 ,)(,)(21dx qa pa a I dx qa pa a I nx x xn x x x ⎰⎰---+=+= 则有 ⎰⎰----++=+-=-n x x x x n x x x x qa pa qa pa d a dx qa pa qa pa qI pI )()(ln 1)(21 1)(111ln 1--+--=n x x qa pa n a 所以有 ],)(111ln 1[21111---+--=n x x n qa pa n a J p I ].)(111ln 1[21112---+-+=n x x n qa pa n a J q I 于是 1111112111)(1ln 12112---+--++=+=n x x n qa pa a pq qa pb n J pq pb qa I b I a I .)(1ln 1111---+-+=n x x n qa pa a n B AJ 3 一类无理函数的积分对一类无理式的积分,可考虑使用组合积分法求解,特别对比较复杂的情形用组合积分法更为方便,对于这类无理函数的积分,其求法如下： 三角代换或一般换元法例4 求 .12⎰-+=xb ax dx I解 设t x sin =,则dx=cosxdt,于是原积分可变为 ,cos sin cos ⎰+=tb t a tdtI再令 ,cos sin sin ⎰+=tb t a tdtJ无理函数积分三角函数的有理式积分有理式积分组合积分 法则有 ,cos sin sin cos t dt t b t a ta tb aJ bI =++=+⎰.cos sin ln cos sin )cos sin (cos sin sin cos ⎰⎰+=++=+-=-t b t a t b t a t b t a d dt t b t a t b t a bJ aI 所以有 C t b t a a bt ba I ++++=]cos sin ln [122又由sint=x, 得 ,arcsin ,1cos 2x t x t =-= 所以 C x b ax a x b ba I +-+++=]1ln arcsin [1222 例5 求 )0(,22b a a ax b ax dx I ≠>++=⎰且解 设achtdt dx ,asht x ==,则原积分可变为dt bcht asht chtdt abchtsht a acht I ⎰⎰+=+=.2 再令 ,J dt bcht asht sht⎰+= 则 ).ln()(bcht asht bcht asht bcht asht d dt bcht asht bsht acht aJ bI +=++=++=+⎰⎰解得 122])ln([1C bt bcht asht a ba I +-++=, 由,asht x = 得 221,a x sht a x a cht +==,.ln )ln(]1)(ln[222a a x x ax a x a x arsh t -++=++== 所以 1222222]ln )ln(ln )ln([b a 1I C a b a x x b a a a x b ax a +-++--++-=C a x x b a x b ax a ba +++-+++=)]ln()ln([1222222))](ln[(221ba b a a C C -++= 例6 求 )(,))((n m n b ax m b ax dxI ≠++++=⎰解 设t b ax =+,则tdt adx b t a x 2),(12=-=, 于是原积分可变为 ⎰⎰++=++=))((2))((2n t m t tdt a n t m t dta I再令 ,))((,))((21⎰⎰++=++=n t m t dtI n t m t tdt I则有 ,ln 21n t n t dt mI I +=+=+⎰ .ln 21m t m t dt nI I +=+=+⎰ 所以有 11)ln ln (1C m t m n t n mn I ++-+-= 由t b ax =+, 得 11)ln ln (1C m b ax m n b ax n mn I +++-++-= 所以 C m b ax m n b ax n m n a I a I +++-++-==)ln ln ()(221 ).2(1C a C = 4用积分法求拉普拉斯逆变换求拉普拉斯逆变换是工程数学中的难点,用组合求逆法求拉普拉斯逆变换,无须用部分分式法将像函数F(P)分解为几个分式,然后查逆变换表再分别求之.在一定程度上,这种求逆变换的方法具有较多的优越性,特别是对于比较复杂的情形更是如此.例7 求)4)(5(1)(2++=P P P F 的逆变换 解法1 令 ],)4)(5(1[)(21++=-P P L t f ])4)(5(1[)(21++=-P P L t g . 则 ,]51[])4)(5(4[)(4)(51221t e P L P P P L t f t g ---=+=+++=+ ]42[25]4[]45[])4)(5(25[)(25)(212121221+-+=+-=++-=-----P L P P L P P L P P P L t f t g .2sin 252cos t t -= 所以 )2sin 252cos (291)(5t t e t f t +-=- 为所请求的逆变换 解法2 用传统的方法.设 ,45)4)(5(122++++=++P C BP P A P P 去分母 ))(5()4(12C BP P P A ++++=,令P=-5,得 291=A .比较2P 项的系数, 得 2910-=⇒=+B B A , 比较常数项,得 ,295)2941(51054=-=⇒=+C C A 所以有 ).4551(291)4)(5(122++-++=++P P P P P故有 ]4551[291])4)(5(1[)(2121++-++=++=--P P P L P P L t f ).2sin 252cos (291]4225451[2915221t t e P P P P L t +-=+++-+=-- 比较上述两种解法,不难看出用组合积分法求逆变换比用传统的方法求逆变换要简便顺利得多.参考文献[1] 朱永银,郭文秀,朱若霞积分法[M].武汉:华中科技大学出版社.2002.10.[2] 华罗庚.高等代数引论[M].北京:科学出版社.1963.[3] 《现代数学手册》编纂委员会.现代数学手册：经典数学卷[M].武汉:华中科技大学出版社.2000.[4] [俄]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京:人民教育出版社.1959.[5] 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