限时练(四)
(建议用时：40分钟)
1．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ≤0}，则A ∩B ＝________． 解析 ∵B ＝[0，2]，∴A ∩B ＝[0，1]．
答案 [0，1]
2．复数5（1＋4i ）2
i （1＋2i ）＝________．
解析 5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝5（－15＋8i ）－2＋i ＝5（－15＋8i ）（－2－i ）
（－2＋i ）（－2－i ）＝
5（38－i ）
5＝38－i.
答案 38－i
3．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率
分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．
解析 高三年级总人数为：90
0.05＝1800；90～100分数段人数的频率为0.45；
分数段的人数为1800×0.45＝810.
答案 810
4．曲线y ＝1
x
在x ＝2处的切线斜率为________．
解析 根据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将x ＝2代入即可求解．因为y ′＝－1
x 2，所以y ′|x ＝2＝－1
4
，即为切线的斜率．
答案 －1
4
5．将一枚骰子(一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)
先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2的概率是________．
解析 利用古典概型的概率公式求解．将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )共有36个，其中落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，2)，共11个，故所求概率是1136
.
答案
1136
6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ等于________．
解析 根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a ＋λb ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫3－λ，1＋12λ，所以(a ＋λb )⊥a ⇒3(3－λ)＋1＋12λ＝0⇒λ＝4.
答案 4
7．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8y
xy
的最小值为________．
解析 利用“1”的代换，结合基本不等式求解．因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，
x ＋8y xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ＝x 2y ＋8y
x
＋5≥2x 2y ·8y
x
＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8y xy 的最小值为9.
答案 9
8．给出四个命题： ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的序号是________． 解析 若α∥β，α∥γ，则β∥γ，
即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确； 若a ∥α，a ∥β，则α与β平行或相交，故②错误； 若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误； 若a ⊥α，a ⊥β，则α与β平行，故④正确．
答案 ①④
9．设某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是________．
解析 阅读算法中流程图知：
运算规则是S ＝S ×k 2故
第一次进入循环体后S ＝1×32＝9，k ＝3；
第二次进入循环体后S ＝9×52＝225＞100，k ＝5.退出循环，其输出结果k ＝5.故答案为：5.
答案 5
10．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，
则a 1的取值范围为________．
解析 利用a 1，a 2，a 5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以a 1，a 2，a 5成等比数列⇒a 22＝a 1a 5⇒(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )⇒d ＝2a 1，代入不等式a 1＋a 2＋a 5＞13，解得a 1＞1.
答案 (1，＋∞)
11．P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，
PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________．
解析
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 3a x ，x 2a 2
－y 2b 2
＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－324a ，y ＝－2
4
b ，又PF 1
垂直于x 轴，所以324a ＝c ，
即离心率为e ＝c a ＝32
4
.
答案
324
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面
积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．
解析 由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝3
2，又C 为三角形的内角，
所以C ＝60°或120°.若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋
b 2－2ab cos C ＝84，此时，最大边是b ，故最大角为B ，其余弦值cos B ＝a 2＋
c 2－b 22ac ＝3221，正弦值sin B ＝53221
，正切值tan B ＝533；若C ＝120°，
此时，C 为最大角，其正切值为tan120°＝－ 3.
答案 53
3
或－ 3
13．若存在区间M ＝[a ，b ](a ＜b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为
函数f (x )的一个“稳定区间”．给出下列四个函数：①y ＝e x ，x ∈R ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝cos
πx
2
；④f (x )＝ln x ＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命题的序号)．
解析 根据新定义逐一判断．因为函数y ＝e x ，x ∈R 递增，且e x ＞x ，x ∈R 恒成立，函数y ＝e x ，x ∈R 不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f (x )＝x 3存在稳定区间[－1，0]或[0，1]或[－1，1]，故②存在“稳定区间”；函数f (x )＝cos
πx
2
存在稳定区间[0，1]，故③存在“稳定区间”；函数f (x )＝ln x ＋1在(0，＋∞)上递增，且ln x ＋1≤x ，x ＞0恒成立，函数
f (x )＝ln x ＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”．
答案 ②③
14．若关于x 的方程
|x |
x ＋2
＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．
解析 由于关于x 的方程|x |
x ＋2
＝kx 2有四个不同的实根，x ＝0是此方程的一个根，故关于x 的方程
|x |
x ＋2
＝kx 2有3个不同的非零的实数解．
∴方程1
k ＝⎩⎨⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y ＝1k
的图象和函数g (x )＝⎩⎨⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0的图象有3个交点，画出函数g (x )
的图象，如图所示，故0＜1
k
＜1，解得k ＞1.
答案(1，＋∞)。