高考压轴题精选1.如图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值围为 ▲ . 解：2. 已知⊙A ：221x y +=，⊙B : 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ .解：设)(y x P ，，因为PE PD =，所以22PD PE =，即14)4()3(2222-+=--+-y x y x ，整理得：01143=-+y x ，这说明符合题意的点P 在直线01143=-+y x 上，所以点)(y x P ，到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143=-+y x 的距离，为5113. 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．求n a 与n b ；解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=依题意有1363(1)22642(6)64n n nda d n d ab q q b q S b d q +++-⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1，2，3，6之一，解①得2,8d q == 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=4. 在ABC ∆中，2==⋅AC AB （1）求22+（2）求ABC ∆面积的最大值．||||2BC AC AB =-=4222又因为 2AB AC ⋅=，所以228AB AC +=；（2）设||||||AB c AC b BC a ===，，，由（1）知822=+c b ，2=a ， 又因为bcbc bc a c b A 22282cos 222=-=-+=，所以A bc A bc S ABC2cos 121sin 21-==∆=222222421cb c b c b ⋅-≤34)2(21222=-+c b ， 当且仅当c b a ==时取“=”，所以ABC ∆的面积最大值为3．5. 设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，数列{}n b 是公比为q 等比数列，且110b a =>． （1）若33a b =，75a b =，探究使得n m a b =成立时n m 与的关系； （2）若22a b =，求证：当2>n 时，n n b a <.解：记a b a ==11，则1,)1(-=-+=m m n aq b d n a a ，……………1分（1）由已知得2426a d aq a d aq ⎧+=⎨+=⎩，，消去d 得4232aq aq a -=， 又因为0≠a ，所以02324=+-q q ，所以2122==q q 或，……………5分若12=q ，则0=d ，舍去；……………6分 若22=q ，则2a d =，因此12)1(-=-+⇔=m m n aq a n a b a 1211-=-+⇔m q n ， 所以1221-=+m n （m 是正奇数）时，m n b a =；……………8分（2）证明：因为0,0>>a d ，所以111212>+=+===ada d a a ab b q ， …………11分2>n 时，1)1(---+=-n n n aq d n a b a =d n q a n )1()1(1-+--=d n q q q q a n )1()1)(1(22-+++++--d n n q a )1()1)(1(-+--<=[]0))(1()1()1(22=--=+--b a n d q a n所以，当n n b a n <>时，2. …………………………16分6. 已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点．（1的正方形ABCD 的顶点A 、B 均在圆O 上，C 、D 在圆O 外，当点A 在圆O 上运动时，C 点的轨迹为E ． （ⅰ）求轨迹E 的方程；（ⅱ）过轨迹E 上一定点00(,)P x y 作相互垂直的两条直线12,l l ，并且使它们分别与圆O 、轨迹E 相交，设1l 被圆O 截得的弦长为a ，设2l 被轨迹E 截得的弦长为b ，求a b +的最大值．（2）正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，求线段OC长度的最值．解：（1）（ⅰ）连结OB ，OA ，因为OA =OB =1，AB =2，所以222AB OB OA =+，所以4OBA π∠=，所以34OBC π∠=，在OBC ∆中，52222=⋅-+=BC OB BC OB OC ，所以轨迹E 是以O 为圆心，5为半径的圆，所以轨迹E 的方程为522=+y x ； （ⅱ）设点O 到直线12l l ，的距离分别为12d d ，，因为21l l ⊥，所以2222212005d d OP x y +==+=， 则22215212d d b a -+-=+，则[])5)(1(2)(64)(222122212d d d d b a --++-=+≤4⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅++-262)(622212221d d d d =22124[122(d d -+=4(1210)8-=，当且仅当221222125,15,d d d d ⎧+=⎨-=-⎩，即22219,21,2d d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“=”，所以b a +的最大值为 （2）设正方形边长为a ，OBA θ∠=，则cos 2a θ=，0,2θπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．当A 、B 、C 、D 按顺时针方向时，如图所示，在OBC ∆中，2212cos 2a a OC θπ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，即OC == ==由2,444θππ5π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，此时(1,1]OC ∈； 当A 、B 、C 、D 按逆时针方向时，在OBC ∆中，2212cos 2a a OC θπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即OC ====，由2,444θππ3π⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，此时1,OC ∈， 综上所述，线段OC 11．7. 已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，数a 的值； （2）求证：0)(≥x f 恒成立的充要条件是1a =；（3）若0a <，且对任意(]1,0,21∈x x ，都有121211|()()|4||f x f x x x -≤-，数a 的取值围.另解：042≤--ax x 在(]1,0∈x 上恒成立，设4)(2--=ax x x g ，只需[)0,30041)1(04)0(-∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤--=<-=a a a g g .8. 已知函数2()3,()2f x mx g x x x m =+=++. （1）求证：函数()()f x g x -必有零点； （2）设函数()G x =()()1f x g x --（ⅰ）若|()|G x 在[]1,0-上是减函数，数m 的取值围；（ⅱ）是否存在整数,a b ，使得()a G x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.9. 已知函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数. （1）若()ln ()f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调增区间；（2）若()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意12,(0,2]x x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--，求a 的的取值围.解：（1） 2221(2)1'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++， ∵92a =，令'()0f x >，得2x >，或12x <， ∴函数()f x 的单调增区间为1(0,)2， (2,)+∞.（2）∵2121()()1g x g x x x -<--，∴2121()()10g x g x x x -+<-，∴221121()[()]0g x x g x x x x +-+<-，设()()h x g x x =+，依题意，()h x 在(]0,2上是减函数.当12x ≤≤时， ()ln 1ah x x x x =+++，21'()1(1)a h x x x =-++， 令'()0h x ≤，得：222(1)1(1)33x a x x x x x+≥++=+++对[1,2]x ∈恒成立， 设21()33m x x x x =+++，则21'()23m x x x =+-，∵12x ≤≤，∴21'()230m x x x=+->， ∴()m x 在[1,2]上是增函数，则当2x =时，()m x 有最大值为272，∴272a ≥.当01x <<时， ()ln 1ah x x x x =-+++，21'()1(1)a h x x x =--++， 令'()0h x ≤，得： 222(1)1(1)1x a x x x x x+≥-++=+--， 设21()1t x x x x =+--，则21'()210t x x x=++>， ∴()t x 在(0,1)上是增函数，∴()(1)0t x t <=， ∴0a ≥，综上所述，272a ≥10. （1）设10+<<a b ，若对于x 的不等式()()22ax b x >-的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值围是 ▲ .（2）若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值围是▲ .解：（1）()3,1（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛1649,92511. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列,其中1122432,1,,2a b a b a b ====，且存在常数α、β，使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲ .12. 在直角坐标系平面两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数)(x f 的图象上；②Q P ,关于原点对称，则称点对),(Q P 是函数)(x f 的一个“友好点对”（点对),(Q P 与),(P Q 看作同一个“有好点对”）.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=,0,2,0,142)(2x ex x x x f x 则函数)(x f 的“友好点对”有 ▲ 个.13. 已知ABC ∆的三边长c b a ,,满足b a c a c b 22≤+≤+，，则ab的取值围是 ▲ . 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛23,32xyO已知ABC ∆的三边长c b a ,,满足b a c a c b 3232≤+≤+，，则ab的取值围是 ▲ . 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛35,4314. 已知分别以21,d d 为公差的等差数列{}n a ,{}n b ,满足120091,409a b ==． （1）若11=d ,且存在正整数m ,使得200920092-=+m m b a ,求2d 的最小值；（2）若0k a =，1600k b =且数列200921121,,,,,,b b b b a a a k k k k ++-,的前项n 和n S 满足200920129045k S S =+,求 {}n a 的通项公式.解：（1）证明:220092009m m a b +=-,21120092[(1)]2009a m d b md ∴+-=+-，即200940922-+=md m , ……4分2160080d m m ∴=+≥=. 等号当且仅当"1600"mm =即"40"=m 时成立,故40m =时，2min []80d = . ……7分（2）0a =，1600b =，1,409a b ==200912112009()()k k k k S a a a a b b b -+∴=++++++++=++2)(1k a a k 2)12009)((2009+-+k b b k 2009(2010)22k k -=+，…10分 200920129045k S S =+1()201290452k a a k +=+=904522012+k201290452k ∴⋅+2009(2010)22k k -=+40202009201018090k ∴=⨯-，220099k ∴=-，1000k ∴= ……13分故得1,011000==a a 又，11999d ∴=-,1210001(1)999999n a a n d n ∴=+-=-，因此{}n a 的通项公式为n a n 99919991000-=. ……15分15. 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （1）当1a =时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值？（3）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=xep x p x h ，若在区间[]e ,1上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试数p 的取值围． 24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭16. 如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2DC BD =； （2）求AB DC ⋅的值.（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠①， 在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC DCADC CAD=∠∠②， 所以BAD CAD ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，由①②得36BD AB DC AC ==，所以2DC BD =（2）因为2DC BD =，所以BC DC 32=. 在△ABC 中，因为22222237611cos 223721AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， 所以22()||||cos()AB DC AB BC AB BC B π⋅=⋅=⋅- AD2112237()3213=⨯⨯⨯-=- 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}1n S +是公比为2的等比数列.（1）证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =；（2）设n n n n a b )1(5--=（*∈N n ），若1+<n n b b 对任意*∈N n 成立，求1a 的取值围.18. 已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列{}n a 和{}n b 满足181=a ，3614=b .（1）若181=d ，且存在正整数m ，使得45142-=+m mb a ，求证：1082>d ； （2）若0==k k b a ，且数列142121b b b a a a k k k ，，，，，，， ++的前n 项和n S 满足k S S 214=，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令0>==a a d a c n n b n a n ，，，且1≠a ，问不等式n n n n d c d c +≤+1是否对一切正整数n 都成立？请说明理由.19. 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B .（1）求椭圆的方程；（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程； （3）求OB OA ⋅的最大值与最小值.（1）1101522=+y x ；（2）直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 （3）20. 已知集合{}k x x x x x x D =+>>=212121,0,0),(，其中k 为正常数. （1）设21x x u =，求u 的取值围；（2）求证：当1≥k 时，不等式⎪⎭⎫⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 22112211对任意D x x ∈),(21恒成立； （3）求使不等式⎪⎭⎫⎝⎛-≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 22112211对任意D x x ∈),(21恒成立的k 取值围.21. 设函数x m mx x x f )4(31)(223-+-=，R x ∈，且函数)(x f 有三个互不相同的零点βα,,0，且βα<，若对任意的[]βα,∈x ，都有)1()(f x f ≥成立，数m 的取值围. 解：。