2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。

（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。

（4）若级数∑∞=--2)]11ln(1[sin n n k n 收敛，则=k （ ）)(A 1。

)(B 2。

)(C 1-。

)(D 2-。

【答案】)(C 【解】)1(6111sin33no n n n +-=， 由)(2)1ln(22x o x x x +-=+得)1(211)11ln(22no n n n +--=-， 于是)1(21)1()11ln(1sin22no n k n k n k n +++=--， 由∑∞=--2)]11ln(1[sinn nk n 收敛得1-=k ，应选)(C 。

（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）)(A T E αα-不可逆。

)(B T E αα+不可逆。

)(C T E αα2+不可逆。

)(D T E αα2-不可逆。

【答案】)(A【解】令T A αα=，A A =2，令X AX λ=，由0)()(22=-=-X X A A λλ得02=-λλ，0=λ或1=λ，因为n T A tr λλαα++===Λ11)(得A 的特征值为1,011====-n n λλλΛ，T E αα-的特征值为0,111====-n n λλλΛ，从而0||=-T E αα，即T Eαα-不可逆，应选)(A 。

（6）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001,100020012,100120002C B A ，则 （ ）)(A A 与C 相似，B 与C 相似。

)(B A 与C 相似，B 与C 不相似。

)(C A 与C 不相似，B 与C 相似。

)(D A 与C 不相似，B 与C 不相似。

【答案】)(B【解】C B A ,,的特征值为1,2321===λλλ，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1001000002A E 得1)2(=-A E r ，则A 可相似对角化，从而C A ~；由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1000000102B E 得2)2(=-B E r ，则B 不可相似对角化，从而B 与C A ,不相似，应选)(B 。

（7）设C B A ,,为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则B A ⋃与C 相互独立的充分必要条件是（ ）)(A A 与B 相互独立。

)(B A 与B 互不相容。

)(C AB 与C 相互独立。

)(D AB 与C 互不相容。

【答案】)(C【解】)()()()(])[(ABC P BC P AC P BC AC P C B A P -+=+=+)()()()()(ABC P C P B P C P A P -+=， )()]()()([)()(C P AB P B P A P C P B A P -+=+)()()()()()(C P AB P C P B P B P A P -+=，B A ⋃与C 独立即)()(])[(C P B A P C B A P +=+的充分必要条件为)()()()()()()()()()()(C P AB P C P B P B P A P ABC P C P B P C P A P -+=-+，或)()()(C P AB P ABC P =，即AB 与C 独立，应选)(C 。

（8）设n X X X ,,,21Λ（2≥n ）为来自总体)1,(μN 的简单随机样本，记∑==ni iX n X 11，则下列结论正确的是（ ）)(A ∑=-ni i X 12)(μ服从2χ分布。

)(B 21)(2X X n -服从2χ分布。

)(C ∑=-ni i X X 12)(服从2χ分布。

)(D 2)(μ-X n 服从2χ分布。

【答案】)(B【解】若总体),(~2σμN X ，则)(~)(12122n Xni iχμσ∑=-，)1(~)(12122--∑=n X Xni iχσ，因为总体)1,(~μN X ，所以)(~)(212n X ni i χμ∑=-，)1(~)(212--∑=n X X ni i χ，再由)1,(~nN X μ得)1,0(~)(1N X n nX μμ-=-，从而)1(~)(22χμ-X n ，不正确的是)(B ，应选)(B 。

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） （9）__________)(sin 223=-+⎰-dx x x πππ。

【答案】23π【解】dx x dx x dx x x ⎰⎰⎰-=-=-+--ππππππππ022222232)(sin2cos 2cos 2320222022sin ππππππ===⎰⎰=dt t dt t tx 。

（10）差分方程t t t y y 221=-+的通解为__________。

【答案】t tt C 2212+ 【解】021=-+t t y y 的通解为t t C y 2=；设t t t y y 221=-+的特解为t at y 2=*，代入得21=a ， 故t t t y y 221=-+的通解为t t t t C y 2212+=。

（11）设生产某种产品的平均成本为Q e Q C -+=1)(，其中Q 为产量，则边际成本为____。

【答案】QeQ --+)1(1【解】平均成本为Q e QQ C Q C -+==1)()(，总成本为Q Qe Q Q C -+=)(，边际成本为 Q e Q Q C --+=')1(1)(。

（12）设函数),(y x f 具有一阶连续的偏导数，且dy e y x dx ye y x df y y )1(),(++=，0)0,0(=f ，则_______),(=y x f 。

【答案】yxye 【解】由)()1(),(y y y xye d dy e y x dx ye y x df =++=得C xye y x f y +=),(，再由0)0,0(=f 得0=C ，故y xye y x f =),(。

（13）矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321,,ααα为线性无关的三维列向量组，则向量组321,,αααA A A 的秩为________。

【答案】2【解】()321321,,),,(ααααααA A A A =，因为321,,ααα线性无关，所以()321,,ααα可逆，从而)()],,[(321A r A A A r =ααα，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000110101A 得2)(=A r ，故向量组321,,αααA A A 的秩为2。

（14）设随机变量X 的概率分布为b X P a X P X P =====-=}3{,}1{,21}2{，若0=EX ，则_________=DX。

【答案】29 【解】031=++-=b a EX，再由121=++b a 得41==b a ，2941341121)2(2222=⨯+⨯+⨯-=EX 。

三、解答题（15）（本题满分10分）求30limxdt e t x xt x ⎰-+→。

【解】⎰⎰⎰--=-==-xu xxux ut x xtdu e u edu eu dt e t x 0，则303030limlim limxdu e u xdu e u e xdt e t x xu x xux x xtx ⎰⎰⎰-+→-+→+→=⋅=-3223lim 0==-+→x e x x x 。

（16）（本题满分10分）计算积分dxdy y x y D ⎰⎰++2423)1(，其中D 是第一象限中曲线x y =与x 轴边界围成的无界区域。

【解】dy y x y dx dxdy y x y x D ⎰⎰⎰⎰++=++∞+024*******)1()1( dy y x y dx y d y x y dx x x ⎰⎰⎰⎰++=++=∞+∞+022202024220)1(21)()1(21 )21111(41)21111(410202022⎰⎰⎰+∞+∞+∞+-+=+-+=dx xdx x dx x x )211(8)2212(41])2()2(1121|[arctan 41020-=⋅-=+-=⎰+∞∞+πππx d x x 。

（17）（本题满分10分）求∑=∞→+nk n nknk12)1ln(lim。

【解】⎰∑∑+=+=+=∞→=∞→10112)1ln()1ln(1lim )1ln(lim dx x x n knk n n k n k n k n nk ndx x x x x x d x ⎰⎰++--+=+=10210210211)1(21|)1ln(21)()1ln(21 412ln 2121412ln 21)111(212ln 2110=-+-=++--=⎰dx x x 。