一、声速运动学计算题
1. 有一山峡，两侧为竖直陡壁，有人在山峡内放了一枪。

已知他第一次听到回声与第二次听到回声间隔5s ，第二次听到回声与第三次听到回声间隔35
34秒。

1）求山峡的宽度。

（声音在空气中传播的速度为340m/s ）
2）另向左发出的声音为s1，向右发出的声音为s2。

假设声音不衰减，那么s1与s2之间的距离d 随时间t 有怎样的变化？（放枪时t=0）
解答：
1） 枪声传播路径如下图：
其中，第一次听到向左传播的枪声，第二次听到向右传播的枪声，第三次同时听到这两个枪声。

解法1：
设从开枪到第一次听到枪声的时间为t 秒。

V 声∗t +V 声∗(t +5)= V 声∗(t +5+35
34
)
将V 声=340m/s 代入得，t=35
34。

所以山峡的宽度为V 声∗35
34∗1
2+V 声∗(35
34+5)∗1
2=1200米。

峭壁
峭壁
第一次听到
第二次听到 第三次听到 第三次听到
左侧枪声传播
右侧枪声传播
解法2： 由图可知，从开枪到第一次听到回声和第二次听到回声与第三次听到回声，枪声走过的路程相同，都是2倍的人到左侧峭壁的距离，所以这两段时间也相同，为
3534
秒。

所以山峡的宽度为V 声∗35
34∗1
2+V 声∗(35
34+5)∗1
2=1200米。

2) 由题知，因为枪声在峭壁上会发生反射，而且两个枪声s1、s2相遇前距离d 减小，离开时距离d 增大，所以s1与s2之间的距离d 与时间t 的关系肯定是分段函数。

下面来逐段讨论。

① 段1：
在s1到达左侧峭壁之前，因为相离，所以d 随t 增大而增大。

因为声速为340m/s ，所以分离速度为680m/s 。

易得，d =680t 。

由1）知，第一次听到回声是35
34，所以s1到达左侧峭壁的时间为35
34∗1
2=35
68秒。

所以，0≤t ≤35
68。

② 段2：
在s2到达右侧峭壁之前，因为s1与s2速度相同，都为声速，且方向都向右，所以d 不变。

由1）知，第一次听到回声是35
34，所以人到左侧峭壁的距离是V 声∗35
34∗1
2=175米。

因为s1与s2速度相同，所以d 为人到左侧峭壁的距离的2倍，即d =350。

s2到达右侧峭壁的时间为(1200−175)÷340=205
68
秒，所以3568<t ≤
20568。

③ 段3：
S1
S2
S1
S2
在s1与s2相遇之前，因为相向，所以d 随t 增大而减小。

因为s2到达右侧峭壁的时间为205
68秒，所以这种情况下，s1与s2运动的时间为t-205
68秒。

因此d =350−340×(t −20568
)−340×(t −20568
)=2400−680t 。

s1与s2相遇时，t =20568
+350÷2÷340=60
17秒，所以205
68<t ≤60
17。

④ 段4：
在s1到达右峭壁之前，因为相离，所以d 随t 增大而增大。

因为s1、s2相遇的时间为60
17秒，所以这种情况下，s1与s2运动的时间为t-60
17秒。

因此d =340×(t −60
17)×2=680t −2400。

s1到达右侧峭壁时，t =60
17+350÷2÷340=275
68
秒，所以6017<t ≤
27568。

⑤ 段5：
在s2到达左峭壁之前，因为s1与s2速度相同，都为声速，且方向都向左，所以d 不变，距离为350米。

即d =350。

s2到达左侧峭壁的时间为t =(1200−175+1200)÷340=445
68
秒，所以275
68<t ≤
44568。

⑥ 段6：
S1
S2
S1
S2
S1
S2
在s2与s1相遇之前，因为相向，所以d 随t 增大而减小。

s2到达左侧峭壁的时间为t =
445
68
秒，所以这种情况下，s1与s2运动的时间为t-445
68秒。

因此d =350−340×(t −
44568
)×2=4800−680t 。

s1、s2相遇的时间为t =(1200+1200)÷340=
120
17
秒，所以44568<t ≤12017。

第 段后，当s1与s2相遇时，s1仍旧是从人的位置向左运动，s2仍旧是从人的位置向右运动，即回到初始状态。

由此可知，d 随t 是周期函数。

第一个周期内的函数方程为：
d =680t ，0≤t ≤35
68
d =350，35<t ≤205
d =2400−680t ，20568<t ≤60
17
d =680t −2400，6017<t ≤275
68
d =350，27568<t ≤445
68
d =4800−680t ，44568<t ≤120
17
对应的函数图像为：
S1
S2
另解：此外，可以根据分析得到初步的图像，然后计算出临界点，即遇到峭壁折返和相遇的点的坐标，根据图像计算出d关于t的函数。

2.甲、乙两人同时开着汽车在一条直线上相向行驶，甲开车速度为v1，乙开车
速度为v2，如图所示。

某一时刻，甲按了一下喇叭。

经过t1秒，乙听到甲的喇叭声。

与此同时，他也按了一下喇叭。

又经过t2秒，甲听到乙的喇叭声。

此时，他再次按下喇叭。

又经过t3秒，乙听到甲的喇叭声。

此后，再经过t0秒，甲、乙两人相遇。

1）当t1=2秒，t2=1.8秒，t3=1.5秒时，甲开车的速度v1和乙开车的速度v2分别是多少？（已知声音在空气中的传播速度为340m/s）
2）在1）问的条件下，t0的值为多少？
3）请用t1、t2、t3来表示t0的值。

解答：
甲、乙与喇叭声音的运动路径如下图：
由图可以得到如下方程：
v声t1=v1(t1+t2)+v声t2
v声t2=v2(t2+t3)+v声t3
v声t3=v1(t3+t0)+v2t0
由第一个方程解得，v1=t1−t2
t1+t2v声
乙V1 V2
甲
由第二个方程解得，v2=t2−t3
t2+t3v 声 由第二个方程解得，t0=
v 声−v1v1+v2
t3
1）将t1=2、t2=1.8、t3=1.5代入得： v1=t1−t2
t1+t2v 声=2−1.8
2+1.8×340=
34019
m/s v2=t2−t3
t2+t3v 声=1.8−1.5
1.8+1.5×340=34011
m/s
2） 将v1=34019
m/s 、v2=
34011
m/s 代入得：
t0=v 声−v1v1+v2
t3=340−
34019
34019+340
11
×1.5=9.9秒。

3） 将v1=t1−t2t1+t2v 声、v2=t2−t3t2+t3v 声代入t0=
v 声−v1v1+v2
t3得：
t0=
v 声−v1
v1+v2
t3
=
v 声−t1−t2t1+t2v 声
t1−t2t1+t2v 声+
t2−t3
t2+t3v 声t3
=
1−t1−t2
t1+t2
t1−t2t1+t2+t2−t3t2+t3
t3
=[(t1+t2)−(t1−t2)](t2+t3)
(t1−t2)(t2+t3)+(t2−t3)(t1+t2)
t3
=2t2(t2+t3)
t1t2+t1t3−t22−t2t3+t2t1+t22−t1t3−t2t3
t3
=2t2(t2+t3)2t1t2−2t2t3t3
=t2+t3t3。