2019-2020学年江苏省苏州市工业园区星海实验中学九年级（上）月考数学试卷一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）. 1．（3分）一元二次方程3x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，2，1B．3，2，1C．3，﹣2，﹣1D．﹣3，2，12．（3分）方程x2＝x的两根分别为（）A．x1＝﹣1，x2＝0B．x1＝1，x2＝0C．x1＝﹣l，x2＝1D．x1＝1，x2＝13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sin B的值为（）A．B．C．D．4．（3分）如果△ABC中，sin A＝cos B＝，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形5．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2+2x+1＝0C．x2+2x+3＝0D．x2+2x﹣3＝06．（3分）下列一元二次方程中两根之和为﹣4的是（）A．x2﹣4x+4＝0B．x2+2x﹣4＝0C．x2+4x﹣5＝0D．x2+4x+10＝07．（3分）某品牌服装原价为173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（）A．173（1+x%）2＝127B．173（1﹣2x%）2＝127C．173（1﹣x%）2＝127D．127（1+x%）2＝1738．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（）A．3B．C．D．9．（3分）如图，2条宽为1的带子以α角交叉重叠，则重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．sinαB．C．D．10．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为（）A．3B．2C．6D．12二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案直接填在笞题纸相对应位置上）11．（3分）当k时，关于x的方程（k﹣2）x2+3x+1＝0是一元二次方程．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B＝．13．（3分）如图，O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且点A的坐标为（4，0），则点B的坐标为．14．（3分）当k时，关于x的方程2x2﹣4x+k＝0有两个实数根．15．（3分）已知2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c＝．16．（3分）若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则a2+a+1的值为．17．（3分）如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为米．（保留根号）18．（3分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，则点A′的坐标为．19．（3分）已知实数ab满足等式a2+3a﹣2＝0，b2+3b﹣2＝0，那么求的值是．20．（3分）如图，已知点D是Rt△ABC的斜边BC上的一点，tan B＝，BC＝（k+1）BD，CE⊥AD，则tan∠ACE ＝．（用含k的代数式表示）三、解答题：本大题共8小题，共70分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.21．（4分）计算：sin45°﹣tan60°+sin30°tan45°22．（8分）解下列方程（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0（2）（x﹣3）（x﹣5）＝2523．（5分）先化简，再求值：（÷，其中a是方程x2+3x﹣10＝0的根．24．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．25．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若周长为16的等腰△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，求k的值．26．（10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）27．（12分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．28．（13分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长．（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．（4）如图2，当△ECD的面积S1＝时，求AE的长．2019-2020学年江苏省苏州市工业园区星海实验中学九年级（上）月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）. 1．【解答】解：∵方程3x2﹣2x＝1化成一般形式是3x2﹣2x﹣1＝0，∴二次项系数是3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1．故选：C．2．【解答】解：方程变形得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝1，x2＝0．故选：B．3．【解答】解：设BC为x，则AB＝3x，由勾股定理得，AC＝＝＝2x，∴sin B＝＝＝，故选：D．4．【解答】解：∵sin A＝cos B＝，∴∠A＝∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．5．【解答】解：A、x2+1＝0中△＜0，没有实数根；B、x2+2x+1＝0中△＝0，有两个相等的实数根；C、x2+2x+3＝0中△＜0，没有实数根；D、x2+2x﹣3＝0中△＞0，有两个不相等的实数根．故选：D．6．【解答】解：A、∵x1+x2＝4；故本选项错误；B、∵x1+x2＝1；故本选项错误；C、∵△＝16+20＝36＞0，x1+x2＝﹣4；故本选项正确；D、∵△＝16﹣40＝﹣24＜0，所以本方程无根；故本选项错误．故选：C．7．【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为173﹣173x%＝173（1﹣x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为173（1﹣x%）﹣173（1﹣x%）x%＝173（1﹣x%）2．∴173（1﹣x%）2＝127．故选：C．8．【解答】解：由已知可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，即，∴CE＝．根据勾股定理得DE＝＝．在Rt△AED中，cosα＝，即，∴AD＝．故选：B．9．【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形为ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，∴BC＝AB＝，∴重叠部分的面积即阴影部分的面积＝BC•AE＝．故选：B．10．【解答】解：∵tan∠AOD＝＝，∴设AD＝3a、OA＝4a，则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝a，∵AB＝4，∴点E（4+4a，a），∵反比例函数y＝经过点D、E，∴k＝12a2＝（4+4a）a，解得：a＝或a＝0（舍），则k＝12×＝3，故选：A．二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案直接填在笞题纸相对应位置上）11．【解答】解：关于x的方程（k﹣2）x2+3x+1＝0是一元二次方程，得k﹣2≠0，解得k≠2，故答案为：k≠2．12．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．13．【解答】解：过点B作BC⊥OA于点C，∵O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°．且点A的坐标为（4，0），∴OA＝4，∴AB＝OA＝2，OB＝OA•cos30°＝2，∴OC＝OB•cos30°＝3，BC＝OB•sin30°＝，∴点B的坐标为：（3，）；故答案为：（3，）．14．【解答】解：由△＝16﹣8k≥0，∴k≤2，故答案为：k≤215．【解答】解：∵2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，∴x＝2﹣满足方程x2﹣4x+c＝0，∴（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，解得c＝2+．故答案是：2+．16．【解答】解：∵a为方程x2+x﹣5＝0的解，∴a2+a﹣5＝0，∴a2+a＝5，∴a2+a+1＝5+1＝6．故答案为6．17．【解答】解：如图，作AD⊥CD于D点．∵∠B＝30°，∠ACD＝60°，∠ACD＝∠B+∠CAB，∴∠CAB＝30°．∴BC＝AC＝10m，在Rt△ACD中，CD＝AC•cos60°＝10×0.5＝5m，∴BD＝15．∴在Rt△ABD中，AB＝BD÷cos30°＝15÷＝10m．故答案为：10．18．【解答】解：如图，过点A′作A′D⊥x轴与点D；设A′D＝λ，OD＝μ；∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB＝∠OCB＝90°；四边形ABA′D为梯形；设AB＝OC＝γ，BC＝AO＝ρ；∵OB＝，tan∠BOC＝，∴，解得：γ＝2，ρ＝1；由题意得：A′O＝AO＝1；△ABO≌△A′BO；由勾股定理得：λ2+μ2＝1①，由面积公式得：②；联立①②并解得：λ＝，μ＝．故答案为（，）．19．【解答】解：当a＝b时，原式＝1+1＝2；当a≠b时，可把a、b看作方程x2+3x﹣2＝0的两根，则a+b＝﹣3，ab＝﹣2，所以原式＝＝＝＝．故答案为：2或．20．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：∵Rt△ABC的斜边BC，∴∠CAB＝90°，DF⊥AB，∴AC∥DF，∴＝，∵BC＝（k+1）BD，∴＝＝，∴AF＝k•BF∵tan B＝，∴＝，∴DF＝FB，∴＝＝，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ACE＝∠DAF，∴tan∠ACE＝tan∠DAF＝＝，故答案为：．三、解答题：本大题共8小题，共70分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.21．【解答】解：原式＝×﹣×+×1＝1﹣3+＝﹣1．22．【解答】解：（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（3x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，x1＝3，x2＝1，（2）（x﹣3）（x﹣5）＝25，整理得：x2﹣8x＝10，∴（x﹣4）2＝26，∴，∴，．23．【解答】解：原式＝[﹣]×＝（+）×＝×＝＝（a2+3a），∵a是方程x2+3x﹣10＝0的根，∴a2+3a＝10，∴原式＝×10＝5．24．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△，在Rt△ABD中，∵sin B＝，AD＝12，∴，∴AB＝15，∴BD＝，又∵BC＝14，∴CD＝BC﹣BD＝5；（2）在Rt△ACD中，∵E为斜边AC的中点，∴ED＝EC＝AC，∴∠C＝∠EDC，∴tan∠EDC＝tan C＝．25．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1．∵等腰△ABC的周长为16，∴k+k+k+1＝16或k+k+1+k+1＝16，解得：k＝5或k＝．26．【解答】解：（1）线段BQ与PQ相等．证明：∵∠PQB＝90°﹣41°＝49°，∠BPQ＝90°﹣24.5°＝65.5°，∴∠PBQ＝180°﹣49°﹣65.5°＝65.5°，∴∠BPQ＝∠PBQ，∴BQ＝PQ；（2）∠AQB＝180°﹣49°﹣41°＝90°，∠PQA＝90°﹣49°＝41°，∴AQ＝＝＝1600，BQ＝PQ＝1200，∴AB2＝AQ2+BQ2＝16002+12002，∴AB＝2000，答：A、B的距离为2000m．27．【解答】解：（1）x3+x2﹣2x＝0，x（x2+x﹣2）＝0，x（x+2）（x﹣1）＝0所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；故答案为：﹣2，1；（2）＝x，方程的两边平方，得2x+3＝x2即x2﹣2x﹣3＝0（x﹣3）（x+1）＝0∴x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1，当x＝﹣1时，＝＝1≠﹣1，所以﹣1不是原方程的解．所以方程＝x的解是x＝3；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m因为BP+CP＝10，BP＝，CP＝∴+＝10∴＝10﹣两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2整理，得5＝4x+9两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0即（x﹣4）2＝0所以x＝4．经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4m．28．【解答】解：（1）结论：△ABE≌△CBF．理由：如图1中，∴∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF．（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△BCF，∴S四边形BCEF＝S△BEC+s△BCF＝S△BCE+S△ABE＝S△ABC＝，∵S四边形ABCF＝，∴S△ABE＝，∴•AE•AB•sin60°＝，∴AE＝．（3）结论：S2﹣S1＝．理由：如图2中，∵∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△BCF，∵S△BCF﹣S△BCE＝S2﹣S1，∴S2﹣S1＝S△ABE﹣S△BCE＝S△ABC＝．（4）由（3）可知：S△BDF﹣S△ECD＝，∵S△ECD＝，∴S△BDF＝，∵△ABE≌△CBF，∴AE＝CF，∠BAE＝∠BCF＝60°，∴∠ABC＝∠DCB，∴CF∥AB，则△BDF的DF边上的高为，可得DF＝，设CE＝x，则2+x＝CD+DF＝CD+，∴CD＝x﹣，∵CD∥AB，∴＝，即＝，化简得：3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝1或﹣（舍弃），∴CE＝1，AE＝3．。