， ， ， ， ， ， ， x n ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 例如， x - y ，x - y)( y - z )( z - x)， 八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义 1】一个 n 元代数式 f ( x ，x ggg ，x ) ，如果交换任意两个字母的位置后，代数 1 2 n式不变，即对于任意的 i ，j （1 ≤ i < j ≤ n ），都有f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) = f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) 1i j n 1 j i n那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。

例如， x + y ，xy ， + y ，x 2 + y 2 + z 2，xy + yz + zx 都是对称式。

xy如果 n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为 n 元对称多项式。

由定义 1 知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式 f ( x ，y ，z ) 中 ，若 有 ax 3 项 ，则 必有 ay 3，az 3 项 ； 若有 bx 2y 项 ， 则必 有 bx 2 z ，by 2 z ，by 2 x ，bz 2 x ，bz 2 y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含 n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母 x ，y ，z 的二次对称多项式的般形式是：a( x 2 + y 2 + z 2 ) + b ( x y + yz + zx) + c( x + y + z ) + d【定义 2】如果一个 n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ，那么称这个多项式为 n 元 r 次齐次多项式。

由定义 2 知， 元多项式 f ( x ，x ggg ，x ) 是 r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数 t 有 1 2 nf (tx ，tx ggg ，tx ) = t r f ( x ，x ggg ，x ) 。

12 n 1 2 n例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：a( x 3 + y 3 + z 3 ) + b ( x 2 y + x 2 z + y 2 x + y 2 z + z 2 x + z 2 y) + cxyz 。

【定义 3】一个 n 元代数式 f ( x ，x ggg ，x ) ，如果交换任意两个字母的位置后，代数 1 2 n式均改变符号，即对于任意的 i ，j (1 ≤ i < j ≤ n )，都有f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) = - f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) 1 i j n 1 j i n那么就称这个代数式为 n 元交代式。

(x - y x + y 均是交代式。

， ， ， ， ， ( x ，x ，gg ，x ) = ∑ x g ( x ，x ， ，x ) = ∑ ggg g gg n ，【定义 4】如果一个 n 交代数式 f ( x ，x ggg ，x ) ，如果将字母 x ，x ggg ，x 以 x 代 1 2 n 1 2 n 2x ， x 代 x ggg ，x 代 x ，x 代 x 后代数式不变，即 1 3 2 n n -1 1 nf ( x ，x ggg ，x ) ≡ f ( x ，x ggg ，x ，x ) 1 2 n 2 3 n 1那么称这个代数式为 n 元轮换对称式，简称轮换式。

显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。

例如， a( x 2 + y 2 + z 2 ) 是对称式也是轮换式； b ( x 2 y + y 2 z + z 2 x ) 是轮换式，但不是对称式。

对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；（3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；（4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；（5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。

【定义 5】下面 n 个对称多项式称为 n 元基本对称多项式。

σσ 1 2 1 2 n i 1 2 nn i =1 n x x i j 1≤i < j ≤n ………σk ( x ，x ，， x ) = 1 2 n ∑ 1≤i 1<i 2 <ggg <i k ≤n x x gggx i 1 i 2 i k ……… σn ( x ，x ggg，x ) = x x gggx 1 2 n 1 2 n 例如，二元基本对称多项式是指 x + y ，xy ，三元基本对称式是指 x + y + z ，xy + yz + zx ，xyz当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个 n 元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。

这个结论对解题的指导作用。

（2．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。

下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧（1）若 f ( x ，y ，z ) 是对称式，则在解题中可设 x ≤ y ≤ z 。

（为什么？）（2）若 f ( x ，y ，z ) 是对称式，则当 x ，y 满足性质 p 时， x ，z ；y ，z 也满足性质 p 。

（3）若 f ( x ，y ，z ) 是轮换式，则在解题中可设 x 最大（小），但不能设 x ≤ y ≤ z 。

为什么？）（4）若 f ( x ，y ，z ) 是轮换式，且 x ，y 满足性质 p ，则 y ，z ；z ，x 也满足性质 p 。

（5）若 f ( x ，y ，z ) 是交代多项式，则 x - y ，y - z ，z - x 是 f ( x ，y ，z ) 的因式，即其中 g ( x ，y ，z) 是对称式。

f ( x ，y ，z) = ( x - y)( y - z)( z - x)g ( x ，y ，z )其中 g ( x ，y ，z) 是对称式。

在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。

齐次对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式一次： a( x + y) ，二次： a( x 2 + y 2 ) + bxy三次： a( x 3 + y 3 ) + bxy( x + y)（2）三元齐次对称多项式一次： a( x + y + z)二次： a( x 2 + y 2 + z 2 ) + b ( x y + yz + zx)三次： a( x 3 + y 3 + z 3 ) + b ⎡⎣ x 2 ( y + z) + y 2 ( z + x) + z 2 ( x + y)⎤⎦ + cxyz判定 mx + ny + rz 是否为多项式 f ( x , y , z) ，的因式的方法是：令mx + ny + rz = 0 ，计算 f ( x ，y ，z ) ，如果 f ( x ，y ，z)=0 ，那么mx + ny + rz 就是 f ( x ，y ，z ) 的因式，在实际操作时，可首先考虑 mx + ny + rz 的如下特殊情形：x，x+y，x-y，x+y+z，x-y+z【例1】：已知多项式f(x，y，z)=xy(x2-y2)+yz(y2-z2)+zx(z2-x2)（1）求证：f(x，y，z)是齐次式；（2）求证：f(x，y，z)是轮换式；（3）求证：f(x，y，z)是交代式；（4）分解因式f(x，y，z)。

(4)∵f(x，y，z)是交代多项式，∴(x-y)(y-z)(z-x)是它的因式。

又因为f(x，y，z)是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式x+y+z。

于是，f(x，y，z)可表示为【例2】：分解因式f(x，y，z)=x3+y3+z3-3xyz。

【例3】：分解因式f(x，y，z)=2(x2y2+y2z2+z2x2)-(x4+y4+z4)。

【例4】：分解因式f(x，y，z)=(x+y+z)5-x5-y5-z5【例5】：分解因式f(x,y)=x4+y4+(x+y)4。

【例6】：分解因式(y2-z2)(1+xy)(1+xz)+(z2-x2)(1+yz)(1+yx)+(x2-y2)(1+zx)(1+zy)。

)=(x-y)(y-z)(z-x)(xyz+x+y+z)故f(x，y，z对称式与轮换对称式练习题：1．已知f(x，y，z)=(x-y)5+(y-z)5+(z-x)5（1）求证：f为5次齐次式；（2）求证：f为轮换式；（3）求证：f为交代式；（4）分解因式f。

2．分解因式（1）f(x，y)=(x2+xy+y2)2-4x y(x2+y2)（2）f(x，y，z)=(x+y+z)4+x4+y4+z4-(y+z)4-(z+x)4-(x+y)4（3）f(x，y，z)=(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3(xy+yz+zx)(x+y+z)-xyz（4）f(x，y，z)=(y-z)+y4(z-x)+z4(x-y)（5）f(x，y，z)=x4( ) ( ) ( )( )（6） f ( x ，y ，z) = (x + y + z )3 - x 3 - y 3 - z 3（7） f ( x ，y ，z) = x 3 + y 3 + z 3 - x y 2 + z 2 - y z 2 + x 2 - z x 2 + y 2 + 2xyz（8） f ( x ，y ，z) = x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz（9） f ( x ，y ，z) = x 2 ( y + z )+ y 2 (z + x )+ z 2 (x + y )- x3 + y 3 + z 3 - 2xyz （10） f (a ，b ，c ，d ) = (bcd + cda + dab + abc )2 - (bc - ad )(cd - ab )(db - ac )练习答案与提示：1． 5( x - y)( y - z )( z - x)( x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx)2．（1）可设 f = k ( x 2 + Axy + y 2 )( x 2 + Bxy + y 2 ) ，可求得 k = 1，A = B = -1（2）可设 f = kxyz( x + y + z) ，可求出 k = 12（3）可设 f = k ( x - y)( y - z)( z - x) ，可求出 k = 3（4）可设 f = k ( x + y)( y + z)( z + x) ，可求出 k = 1（5） f = ( x - y)( y - z)( z - x) ⎡⎣ A( x 2 + y 2 + z 2 ) + B( xy + yz + zx)⎤⎦ ，可求出 A = B = 1（6） 3(x + y)( y + z)( z + x)（7） ( x - y - z)( y - z - x)( z - x - y)（8） ( x + y + z)( x y + yz + zx)⎣ ⎦（9） ( x + y - z)( y + z - x)( z + x - y)（10）当 a = b = c = d 时， f = 0 ，∴ f 有 abcd 的因式，可设f = abcd ⎡ A(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + B(ab + bc + cd + da + ac + bd )⎤ ，可求得 A = 1，B = 2 ，∴ f = abcd (a + b + c + d )2。