高等数学（上）一、填空题（每小题3分，共30分）1. 如果函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域为],1[e ．（3分）2．已知2)0('=f ，而且0)0(=f ，则=→x x f x )2(lim 04 ．（3分） 3．已知22lim e x x kx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→，则=k 1 ．（3分）4．曲线x x y ln =在点)0,1(处的切线方程是 1-=x y ．（3分）5．函数653)(2+--=x x x x f 的间断点个数为 2 ．（3分）6．如果⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,)1ln(0,0,sin )(x x x x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k 1 ．（3分）7．函数x e x f 2)(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林展式为：（3分）)10()!1(2!2221)(112<<++++++=++θθn xn n nx n e x n x x x f ． 8．函数)0,,()(2≠++=p r q p r qx px x f 是常数，且，则)(x f 在区间],[b a 上满足拉格朗日中值公式的ξ=2ba +．（3分）9．定积分()dx x x x 1011sin ⎰-+的值为61．（3分）10．设⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰--dx e f e x x )(=C e F x +--)(．（3分）二．计算题（要求有计算过程，每小题5分，共40分）11．求极限113lim 21-+--→x x x x ．（5分） 解：)13)(1()13)(13(lim 113lim 2121++--++-+--=-+--→→x x x x x x x x x x x x ---------（3分）42)13)(1(2lim 1-=++-+-=→x x x x ----------------------------------（5分）12.求极限 n n n 2sin 2lim π∞→．（5分） 解：πππππ=⋅=∞→∞→nn n n n n 22sin lim 2sin 2lim ----------------------------（5分）13．求极限4020sin 1lim2x tdt t x x ⎰+→（5分） 解：21sin 21lim 42sin 1lim sin 1lim 2240324040202=+=⋅+=+→→→⎰xx x x x x x x tdt t x x x x -------（5分）14．设x ey arctan =，求dy ．（5分） 解：)(arctan arctan arctan x d e dedy x x ==-----------------------------------（2分） dx x x e x d x e xx )1(211arctan arctan +=+=----------------------------------（5分）15．求由方程y x e xy +=所确定的隐函数的导数dx dy．（5分）解：方程两边求关于x 的导数)()(dx dy x y xy dxd +=； )1(dx dye e x d y x y x +=++-------------（3分） 所以有)(dx dy x y +=)1(dx dy e y x ++ 解得 )1()1(y x x y xy x y xy ex y e dx dy y x y x --=--=--=++------------------------（5分） 16．求由参数方程 ⎩⎨⎧==-t t e y e x 23 所确定的函数的二阶导数22dx y d ．（5分）解：t tt t t dt dxdt dy e e e e e dx dy 2''3232)3()2(-=-===-------------------------------（2分） t t t t t e ee e e dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx y d 32''22294334)3()32(=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------（5分）17．求不定积分⎰++dx x x x 2321)(arctan ．（5分）解：⎰⎰⎰+++=++dx x x dx x x dx x x x 23222321)(arctan 11)(arctan ----------------（1分） =x d x dx x arctan )(arctan )111(32⎰⎰++----------------------------------（3分） =C x x x ++-4)(arctan 41arctan -----------------------------------------------（5分）18．求定积分dx e x ⎰+101．（5分）解：令2,1;1,0,2,1,12=====-==+t x t x tdt dx t x t x -----（1分）⎰⎰⎰==+212110122dt te tdt e dx e t t x --------------------------------------（2分）22122121)12(2)|2(2)|(2e e e e dt e te t t t -=--=-=⎰--------（5分）三．综合题（6分+10分=16分）19．讨论广义积分dx x x p ⎰+∞2)(ln 1的敛散性．（6分）解：dx x x dx x x b p b p ⎰⎰+∞→+∞=22)(ln 1lim )(ln 1---------------------------------（1分） 当1=p 时2ln ln ln ln ln ln ln ln 1)(ln 1)(ln 12222-====⎰⎰⎰b x x d x dx x x dx x x b b b b p+∞=-==+∞→+∞→+∞⎰⎰)2ln ln ln (ln lim )(ln 1lim )(ln 122b dx x x dx x x b b b -------（3分） 当1≠p 时])2(ln )[(ln 11|)(ln 11ln )(ln 1)(ln 1112122p p b p b p b p b p x p x d x dx x x -----=-==⎰⎰---（4分）⎪⎩⎪⎨⎧<∞+>-=--==---+∞→+∞→∞+⎰⎰1,1,)2(ln 11])2(ln )[(ln 11lim )(ln 1lim )(ln 111122p p p b p dx x x dx x x p p p b b p b p 所以广义积分dx x x p ⎰+∞2)(ln 1当1≤p 时发散，当1>p 时收敛。

-------------------（6分）20．求函数x x y 12+=的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点．（10分）解：函数的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞ 令01212232'=-=-=x x x x y ，得驻点3121=x -------------------------（1分） 当321>x 时，0'>y ，函数单调增加，当321<x 时，0'<y ，函数单调减少，所以函数的单调增加区间为),21[3+∞，单调减少区间为)0,(-∞和]21,0(3-----（4分）3121=x 为函数的极小值点------------------------------------------------------（5分）令0)1(222333''=+=+=x x x y ，得12-=x -------------------------------------（6分） 当0>x 或1-<x 时，0''>y ，曲线x x y 12+=为凹的，当01<<-x 时，0''<y曲线x x y 12+=为凸的，所以曲线x x y 12+=的凹区间为 ]1,(--∞和),0(+∞，凸区间为)0,1[-------（8分） 曲线的拐点为（-1，0）--------------------------------------------------------------（10分）四、证明题（6分）21．证明当0>>b a 时，b b a b a ab a -<<-ln ．证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在区间],[a b 上连续，在区间),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理有：)())(()()('a b b a f b f a f <<-=-ξξ----------（2分） 因为x x f 1)('=，所以有：)()(1ln ln a b b a b a <<-=-ξξ-----------（3分） 因为a b <<<ξ0，所以b a 111<<ξ， -------------------------------------------（4分） 又0>-b a ，所以b b a b a ab a )()(1-<-<-ξ 即：b b a b a ab a -<<-ln -------------------------------------------------------（6分） 五．应用题（8分）22．求由曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋转所成旋转体体积．解：曲线x e y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与x e y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1-e ）,所围平面图形如图阴影部分， 取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为dx e e S x x )(10--=⎰--------------------------------------------------------（2分）2(|)(110-+=+=--e e e e x x ）-------------------------------------------------（4分）所求旋转体体积为))210102dx e dx e V x x -⎰⎰-=ππ-----------------------------------------------（6分） 2(2|)2121(221022-+=+=--e e e e x x ππ）-------------------------------------（8分）。