近世代数模拟试题
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。
A 0
B 1
C －1
D 1/n,n就是整数
2、下列说法不正确的就是( )。
A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群
B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群
C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群
D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群
3、下列叙述正确的就是( )。
A 群G就是指一个集合
B 环R就是指一个集合
C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆
元存在
D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆
元存在
4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。
A 反身性
B 对称性
C 传递性
D 封闭性
S的共轭类( )。
5、下列哪个不就是
3
A (1)
B (123),(132),(23)
C (123),(132)
D (12),(13),(23)
二、计算题(每题10分,共30分)
S的正规化子与中心化子。
1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群
3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。
3、设R 就是由一切形如⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分)
1、设R 就是由一切形如⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,00,0就是其零因子。
2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。
证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
3、证明由整数集Z与普通加法构成的(Z,＋)就是无限阶循环群。
近世代数模拟试题答案
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1． A
2． D
3． C
4． D
5． B
二、计算题(每题10分,共30分)
1． 解:正规化子N(S)＝{(1),(23)}。
(6分)
中心化子C(S)＝{(1)}。
(4分)
2． 解:群G 中的单位元就是1。
(2分)
1的阶就是1,－1的阶就是2,i 与－i 的阶就是4。
(4×2分)
3． 解:设其右零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,b a 。
(2分) 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0。
(3分) 因为x 任意,所以a ＝b ＝0。
(3分)
因此右零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,00,0。
(2分)
三、证明题(每小题15分共45分)
1.证明:设其右零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,b a 。
(2分)
所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛0,0,yb xa ＝0。
(5分) 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0。
(8分)
同理设其右零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,b a 。
(10分) 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0。
(12分) 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0。
(14分)
因此零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,00,0。
(15分)
2．明:首先该代数运算封闭。
(3分)
其次我们有:(a ·b)·c ＝(a ＋b －3)·c ＝(a ＋b －3)＋c －3＝a ＋((b ＋c －3)－3)＝a ·(b ·c),结合律成立。
(6分) 令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元。
(7分)
对任意元素a,6－a 就是其逆元,因为a ·(6－a)＝3。
(8分) 因此,Z 对该运算作成一个群。
显然,单位元就是e ＝3。
(10分)
3.证明:首先证明(Z,＋)就是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0就是运算+的单位元
又由于: ()()0=+-=-+x x x x
所以 ,1x x -=-从而(Z,＋)为群。
(2分)
由于+满足交换律,所以(Z,＋)就是交换群。
(4分) (Z,＋)的单位元为0,
对于1Z ∈,由于 1+(-1)=0,所以111-=-,。
(5分) 于就是对任意Z k ∈,
若0=k ,则:010=;
若0>k ,则k k =+++=1111 。
(8分) 若0<k ,则
()()()k k k k ------===11111
1)1()1()1(---++-+-=个k
))(1(k --= k = 。
(10分)
综上,有k k =1,对任意的Z k ∈、 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而(Z,＋)就是无限阶循环群。
(15分)。