绝
对
收
敛
；
n1
n1
若
n
发
散
，
而
收
n
敛
，
则
称
为
n
n1
n1
n1
条 件 收 敛.
定理4.4若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
由定理4.2得
收敛。
n
n1
证明 sn
n
k
n
(ak ibk )
n
n
ak i
bk n i n
k 1
k 1
k 1
k 1
由定理１，lim n
sn
a
ib
lim
n
n
a, lim n
n
b
an和 bn都收敛。
n1
n1
例1 级数 1 (1 i ) 是否收敛？
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
z1 (
0)收敛, 则对满足
n0
z z1 的z,级数必绝对收敛.
⑵若级数在z z2发散,则对满足 z z2 的z, 级数必发散 .
证明 (1)
n0
cn
z1n收敛,
则
lim
n
cn
z1n
0，即
0，N 0，当n N，恒有 cnz1n
取M max , c0 , c1z1 , c2 z12 , , cN z1N
1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{ fn(z)} z D, n 1,2, fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) (1) n1
---称为复变函数项级数
▪级数的最前面n项的和
n
sn (z) f1(z) f2(z) fn (z) fk (z)
k 1
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
n
?
0
lim 如果n
n
0,
lnimn 0,
级数发散; 应进一步判断.
由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。
定理4.3 级数
收敛
n
的
必要条件:
lim
n
n
0.
n1
定义4.3
若
n
收
敛
，
则
称
为
n
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )
解
(1)
n1
1 n
发散，
n1
1 n2
收敛，
n1
1 n
(1
i )发散. n
(2)
8i n
8n 收敛，
(8i)n 绝对收敛。
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
第四章 解析函数的级数表示法
§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
1. 复数列的极限
定义4.1 设复数列：{n }(n 1,2,), 其中n＝an ibn ,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0,当 n N , 恒有 n ， 那么称为复数列{n }当n 时的极限，
i 1
收
敛
－
级数
称为
n
收
敛
n1
▪若 部 分 和 数 列{sn }
lim
n
sn
s称为级数的和
不收敛
－级数 n称为发散
n1
例1 解
判别
3i的敛散性。
sn
n1
2
n
n
3i
j1 2 j
3i(1
1 2n
),
又
lim
n
sn
3i
级数收敛,且和为 3i.
定理4.2
级数
收敛
n
an和
bn都收敛。
n1
n1
n1
1 1
ni ni
;
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛, 极限为-1 发散 收敛，极限为0
2. 复级数的概念
定义4.2 ▪设复数列： {n } {an ibn }(n 1,2,, ), n 1 2 n ---无穷级数
n1
▪级数的前面n项的和 n sn 1 2 n i ---级数的部分和
记作
lim
n
n
,或当n
时， n
,
此时，也称复数列{ n }收敛于 .
定理4.1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
b.
“
”已知
lim
n
an
a
,
lim
n
bn
b
即，
0, N
0,当 n
N , 恒有
an
a
2
，bn
b
2
又 n (an a) i(bn b)
an a bn b
故
lim
n
n
.
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
cn(z z0 )n (2)
n0
当z0 0 cnzn (3) n0
称为幂级数
在(2)中令z z0 (2) cn k k0
研 究 级 数(3)并 不 失 一 般 性 。
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：
定理4.5 (阿贝尔(Able)定理）
⑴若级数
cn z n在z
n
n
k k ,n n
k 1
k 1
n1
n1
由定理4.4的证明过程，及不等式 an2 bn2 an bn 有 :
推论4.1级数 n 收敛 an 和 bn 都收敛。
n1
n1
n1
? 若
收
n
敛
n1
n1
n收敛.(例如 :
n1
(1)n i n
)
例2 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
---级数的部分和
▪若z0 D
lim
n
sn
(
z0
)
s(
z0
),
称级数(1)在z0收敛,
其和为s(
z0
),
lim
n
sn
(
z0
)不存在，称级数(1)发散,
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s(z) f1(z) f2(z) fn(z)＋ ---级数(1)的和函数
特殊情况，在级数(1)中 fn (z) cn (z z0 )n 得
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
n1
n1
lim
n
an
0
和
lim
n
bn
0.
所以复数项级数n收敛的必要条件是
n1
lim
n
n
0
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
例如,级数 ein :
n1
因为lim n
n
lim ein
n
0,
(
1)
n
收敛
，
n
n1
1 2n
收敛，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛.
n1 n
练习：
讨论
1
1
e
i
n的
敛散性
。
n0 n
发散
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质