第四章解析函数的幂级数表示法
§1、复级数的基本性质
1、(定理4、1)复级数收敛的充要条件:实部虚部分别收敛。

2、(定理4、2)复级数收敛的充要条件(用定义):对任给的>0,存在正整数N(),当n>N
且p为任何正整数时,
注1:收敛级数通项必趋近于零;
注2:收敛级数各项必有界;
注3:级数省略有限个项不改变敛散性。

3、(定理
4、3)收敛
4、(定理4、4)
(1)绝对收敛的复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变与;
(2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。

5、一致收敛的定义:对任给的>0以及给定的,存在正整数N=N(,z),当n>N时,有
式中
6、不一致收敛的定义
7、(定理4、5 柯西一致收敛准则):级数收敛的充要条件就是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有
8、(定理4、5’不一致收敛准则):
9、(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数
收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。

10、优级数定义:称为的优级数。

11、(定理4、6)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则与函数
也在E上连续。

12、(定理4、7 积分求与符号可交换)级数的各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分
13、内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛
14、(定理4、8)在圆K:|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件:
对任意正整数,只要<R,级数在闭圆上一致收敛。

15、(定理4、9 魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数在区域D内解
析;(2)在D内内闭一致收敛于函数f(z):
则:
(1)f(z)在D内解析;
(2)
(3)在D内内闭一致收敛于
§2、幂级数
1、(定理4、10 阿贝尔定理):幂级数在某点(≠a)收敛它必在
圆K:|z-a|<|-a|(以a为圆心,圆周通过的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。

2、(推论4、11):幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心,圆周通过的圆周外发散。

3、收敛半径:圆周内部绝对收敛,圆周外部发散。

4、(定理4、12 收敛半径R的求法柯西-阿达马公式):(不能缺项)如果幂级数
的系数满足:
或
或
则幂级数的收敛半径:
注:上极限:收敛子数列的极限值的上确界值。

5、例4、5:(4)(缺项幂级数)
6、(定理4、13):
(1)幂级数
的与函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤)内解析;
(2)在K内,幂级数可逐项求导至任意阶,且收敛半径相同;
(3)(p=0,1,2,…),即
§3、解析函数的泰勒展开式
1、(定理4、14 泰勒定理):设f(z)在区域D内解析,a D,只要圆K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成幂级数
其中系数
(:|-a|=,0<)
2、(定理4、15)函数f(z)在区域D内解析的充要条件:D内任一点a的邻域内可展开成z-a的幂级数,即泰勒级数
3、柯西不等式:泰勒系数满足:(0<<R)。

4、(定理4、16):幂级数收敛半径R>0,且在收敛圆周C:|z-a|<R上至少有一奇点(不可能处处解析)
注:找收敛半径=找最近奇点
5、一些初等函数的泰勒展式:
(1)
(2)cosz
(3)sinz
(4)多值函数
(5)
例题:
(1)将在z=0展成泰勒级数
(2)求的展式
§4、解析函数零点的孤立性及唯一性定理
1、m阶零点定义:…,,m=1称为单零点。

注:泰勒展开第一项即为m阶导
2、(定理4、17):不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件为:
在a的邻域内解析,且≠0
3、(定理
4、18):不恒为零的解析函数的零点必就是孤立的
4、(推论4、19):设
(1)函数f(z)在邻域K:|z-a|<R内解析;
(2)K内有f(z)的一列零点{}(≠a)收敛于a,
f(z)在K内必恒为零
5、(定理4、20 唯一性定理):
(1)函数在区域D内解析;
(2)D内有一个收敛于的点列{}(≠a),其上等值
在D内恒等
6、(推论4、21)设在区域内解析的函数在D内的某一子区域(或一小段弧)上相等
在D内恒等
7、(推论4、22)一切在实轴上成立的恒等式,只要等式两边在z平面上都就是解析的
等式在z平面上也成立
8、(定理4、23 最大模原理等价于最小模原理):函数f(z)在D内解析|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数
9、(推论4、24):设:(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;
(2)
则除f(z)为常数的情形外,
即:最大值一定在边界上取到,除非就是常值函数。