k
x 3( k
)
e,0,1T
lim(1
1
)k
, lim
sink
1
,, lim k(e k
-
1)
T
k
k k k
k
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性质： See P.3定理1.2 1. 点列的极限是唯一的；
2.设{ xk }是有界点列， 即 M 0, M R, k N , xk M 。
(3) 对于Q U (P), 存在Q的邻域 U (Q) U (P)
(4) 对于P Q, 存在P和Q的邻域 U (P),U (Q), 使得U (P) U (Q)
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点列的极限
(I) e-N式定义：
若
为 x k k1
n
维向量空间
Rn
中一个点列，点
xk
(1
1 )k , sin k kk
1
, k(e k
-
1)
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例子
x(k)
x1(k ) x2(k ) x3(k )
(1
1 )k k
,
sink k
1
, k(e k
-
1)
T
lim
k
x1(
k
)
lim
k
x(k)
lim
k
x2(k )
lim
本节的主要内容为n维欧氏空间中的各类点集， 这将为我们研究新的积分奠定基础。
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1. n维Euclid欧氏空间 See P.2
所有 n 元有序实数组( x1, x2 , , xn )的全体所构成的 集合 Rn 按照以下定义的加法和数乘运算：
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn 定义加法： x y ( x1 y1, x2 y2 , , xn yn )
定义：Rn 中的点集
x1, x2, , xn | ai xi bi ,i 1, ,n
称为一个开区间； 若将其中的不等式全部换成
ai xi bi , ai xi bi , ai xi bi , 则上述点集分别称为闭区间、左开右闭区间、
第1节 n维欧氏空间Rn中的点集的初步知识
n维欧氏空间 n维欧氏空间中点列的极限与完备性 n维欧氏空间的各类点集：开集、闭集、区域
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本节将研究一种特殊的集合——n维欧氏空间 中的点集。
向量空间往往成为数学研究的载体和对象。
分析学科所关心的空间的结构包括度量、范 数、开集、闭集等。
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在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
QB
注：若A={P*}，即A为单点集，则可记
直径及有界点集
( A, B) (P*, B)
点集的直径：
一个非空点集A的直径定义为 d ( A) sup (P,Q).
P ,QA
有界点集：
一个非空点集A称为有界集合，若 d ( A) .
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欧氏空间中点集的一些基本概念——区间
收敛点列必为有界点集 3. 点列的收敛满足线性性；
4. 若xk 收敛于 a, 则它的任意子列也收敛于 a.
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5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列. See P.3 定理1.3, Bolzano-Weierstrass定理
定义 如果对n维欧氏空间中的点列 { xk }，若
定义数乘： x ( x1, x2 , , xn ) R.
构成一个 n 维向量空间，简称 n 维空间,即
Rn x1 ,x2 , xn xi R,i 1,2 ,n
其中每个有序实数组 ( x1, x2 , , xn )称为称为 Rn 中的一 个向量（或点）; n 个实数 x1, x2 , , xn是这个向量（或点） 的坐标.
a Rn,若e 0,N N ， k N，有( xk ,a) e ,
则称该点列收敛于
a，记作lim k
xk
a.
(II) 邻域式定义：
See P.2,定义1.1
若对于 a 的任意邻域 U(a), N N ， k N，
有 xk U(a) . 则 称 该 点 列 收 敛 于 a, 记 作
lim
e 0, N N , 使得k N及p N , xk p - ak e
则称xn是Cauchy点列（基本点列）
6. n维欧氏空间中的收敛点列等价于Rn中Cauchy 点列
See P.3 定理1.4
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点集的距离
两个非空点集A, B的距离定义为
( A, B) inf (P,Q). PA
k
xk
a.
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定理1.1 n维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛. See P.3定理1.1
设 为 x k k1
n
维向量空间
Rn
中一个点列，点
a
Rn,则lim k
xk
a
lim
k xk ,i源自ai ,i1, 2, ..., n
其中，xk ( xk,1, xk,2 , , xk,n ),a (a1, a2 , , an )
于定数d的点的全体,即集合 x Rn | ( x,a) d
称为点a的d邻域, 记作 U (a,d )或U (a)
显然，在R1, R2, R3 , U(a,d分别是以a为中心以d为半
径的开区间、开圆和开球.
d
邻域具有如下的基本性质：
M0
(1) P U (P)
(2) 对于P的两个邻域 U1(P),U2 (P), 存在邻域 U3(P) U1(P) U2 (P)
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
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2. Rn中点列的极限
定义(邻域)：向量空间Rn中所有和定点a的距离小