第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用 所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. 已知f x x x ()lg 22248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 22248-=-，知x x 2280-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x()2的定义域为[]-11，，则f x (log )2的定义域为____________。

解析：f x()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。

答案：]1,1[-2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。

答案：]9,3[-3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)23,1()0,21(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ）A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--。

故⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--5、已知函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a axf ax f xg 的定义域。

［解析］由已知，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232,2321,2321,2321a x a ax a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2321|{<<-x x ； （2）当a a 2323>，即10<<a 时，有221a a ->-，定义域为}232|{a x a x <<-；（3）当a a 2323<，即1>a 时，有221aa -<-，定义域为}2321|{ax a x <<-.故当1≥a 时，定义域为}2321|{a x a x <<-；当10<<a 时，定义域为}.232|{a x a x <<-［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若31-<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.已知y=a log (2-xa )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时，函数t=2-xa >0是减函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时，函数t=2-xa >0是增函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0<a<1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述，0<a<1或1＜a ＜2例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ， 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a ， 解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ，即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++-==， ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F假设存在实数)0(<p p ，使得)(x F 满足条件，设21x x <，∴].12)()[()()(2221222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数，∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x , ∴11612)(2221-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②由①、②可知161-=p ，故存在.161-=p （5）同步练习：1．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B2找出下列函数的单调区间. （1）)1(232>=++-a a y x x ； （2）.2322++-=x x y答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),23[+∞上是减函数。