立身以立学为先，立学以读书为本
2、 已知函数 f ( 3 2x ) 的定义域为 [ 3, 3] ，求 f ( x ) 的定义域。
答案： [ 3, 9]
3、 已知函数 y f (x 2) 的定义域为 ( 1, 0) ，求 f (| 2x 1|) 的定义域。
1
3
( , 0) (1, )
答案： 2
2
2x
2， 4
即 f (log 2 x) 的定义域为 2， 4
评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示） f 对谁作用，则谁的范 围是 f 的作用范围， f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定 义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
（二）同步练习： 1、 已知函数 f ( x) 的定义域为 [ 0, 1] ，求函数 f ( x 2 ) 的定义域。 答案： [ 1, 1]
2
2
［点评］对于含有参数的函数， 求其定义域， 必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字
母的方法。
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三、复合函数单调性问题 （1）引理证明
已知函数 y f (g( x)) . 若 u g (x) 在区间 (a, b ）上是减函数，其值域为 (c ， d) ，又 函数 y f (u) 在区间 (c,d) 上是减函数，那么，原复合函数 y f ( g( x)) 在区间 ( a,b ）上
f ( x2
4)
x2
x2
lg x 2
，知
8
x2
8
0
解得 x 2 4 4 ， f 的作用范围为 (4， ) ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x (4， ) ，即 f ( x) 的定义域为 (4， )
（ 3）、已知 f g( x) 的定义域，求 f h( x) 的定义域
思路：设 f g( x) 的定义域为 D，即 x D ，由此得 g( x) E ， f 的作用范围为 E， 又 f 对 h( x) 作用，作用范围不变，所以 h( x) E ，解得 x F ， F 为 f h(x) 的定义域。
例 2. 若函数 f (x)
1 ，则函数 f f ( x) 的定义域为 ______________。
x1
解析：先求 f 的作用范围，由 f ( x)
1 ，知 x
1
x1
即 f 的作用范围为 x R|x 1 ，又 f 对 f(x)作用
所以 f ( x) R且f ( x)
x1 1 ，即 f f ( x) 中 x 应满足
f (x) 1
x1
即1
，解得 x 1且x 2
1
x1
故函数 f f ( x) 的定义域为 x R|x 1且x 2
（ 2）、已知 f g( x) 的定义域，求 f ( x) 的定义域 思路：设 f g(x) 的定义域为 D，即 x D ，由此得 g( x) E ，所以 f 的作用范围为
E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x E，E 为 f ( x) 的定义域。 例 3. 已知 f (3 2x) 的定义域为 x 1， 2 ，则函数 f ( x) 的定义域为 _________ 。 解析： f (3 2x) 的定义域为 1， 2 ，即 x 1， 2 ，由此得 3 2x 1， 5
x
2
4、设 f x lg
，则 f
f
的定义域为（
）
2x
2
x
A. 4,0 0,4
B. 4, 1 1,4
C. 2, 1 1,2
D. 4, 2 2,4
解：选 C.由 2 x 0得， f ( x) 的定义域为 x | 2 x 2 。故 2x
x
2
2,
2
，解得
2 2 2.
x
x
4, 1
1,4 。故 f
x 2
f 2 的定义域为 4, 1 1,4 x
例 5. 若函数 f (2x ) 的定义域为 1，1 ，则 f (log 2 x) 的定义域为 ____________。
解析： f (2x ) 的定义域为 1，1 ，即 x
1，1 ，由此得 2x
1 ，2 2
1
f 的作用范围为
，2
2
又 f 对 log 2 x 作用，所以 log 2 x
1 ， 2 ，解得 x 2
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所以 f 的作用范围为 1， 5 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x 1， 5 即函数 f ( x) 的定义域为 1，5
例 4. 已知 f ( x2
4)
x2
lg x2
Hale Waihona Puke ，则函数8f ( x) 的定义域为 ______________。
解析：先求 f 的作用范围，由
13 5、已知函数 f ( x) 的定义域为 x ( , ) ，求 g (x) f ( ax)
22
［解析］由已知，有
1
3
ax ,
2
2
1x3 ,
2a2
1
3
x
,
2a
2a
a
3
x a.
2
2
x f ( )(a
a
0) 的定义域。
（ 1）当 a 1 时，定义域为 { x | 1 x 3} ；
2
2
（ 2）当 3 3 a ，即 0 a 1 时，有 1
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第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设 y=f(u) 的定义域为 A， u=g(x) 的值域为 B，若 A B，则 y 关 于 x 函数的 y=f ［ g(x) ］叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 .
二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：
(1) 、已知 f ( x) 的定义域，求 f g(x) 的定义域 思路： 设函数 f ( x) 的定义域为 D，即 x D ，所以 f 的作用范围为 D，又 f 对 g(x) 作 用，作用范围不变，所以 g( x) D ，解得 x E ， E 为 f g( x) 的定义域。 例 1. 设函数 f (u) 的定义域为（ 0， 1），则函数 f (ln x) 的定义域为 _____________。 解析：函数 f (u) 的定义域为（ 0， 1）即 u (0，1) ，所以 f 的作用范围为（ 0， 1） 又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 0 ln x 1 解得 x (1，e) ，故函数 f (ln x) 的定义域为（ 1， e）
a，
2a 2
2a 2
定义域为 { x | a x 3 a} ；
2
2
（ 3）当 3 3 a ，即 a 1 时，有 1
a ，
2a 2
2a 2
定义域为 { x | 1 x 3 } .
2a
2a
故当 a 1 时，定义域为 { x | 1 x 3 } ；
2a
2a
当 0 a 1时，定义域为 { x | a x 3 a}.