利用轴对称求最小值 山东省章丘市绣水中学 李爱芸
文章来源：2008年下半年度《试题与研究》
中考数学题中有些求两线段之和最小的题目，同学们感到找不到思路，其实它是利用轴对称求最短距离的变形，现以部分中考题为例加以分析，希望能对同学们有所帮助。

例：如图，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。

理解转化题意：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。

首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。

因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。

解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。

变形1：
已知：如图,正方形ABCD 的边长为8，M 在BC 上，N 是AC 上的一动点，则BN+MN 的最小值为多少？
理解转化题意：点B 、M 都在直线AC 的同旁，因此利用轴对称找点B 的对称点，在此题中由正方形的性质可知点B 的对称点是点D ，所以连结DM,DM 的长就是BN+MN 的最小值。

解：连结MD 交AC 于N /点
∵四边形ABCD 是正方形
∴点D 与B 关于AC 对称 ∴N /B=N /D
∴DM=DN / +MN / =N /B+N /M
在直角三角形MBC 中由勾股定理求得
DM=10
∴BN+MN 的最小值为10.
变形2： 如图MN 是⊙O 的直径,MN=2点A 在⊙O 上,∠AMN=30°B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点,则PA+PB 的最小值为多少?
理解转化题意：利用圆的轴对称性过点B 作BC ⊥MN 得点B 的
对称点C, 连结AC 与MN 交点即为P 点.
解：过点B 作BC ⊥MN 交⊙O 于点C 连结AC 交MN 于点P 则
AC=PA+PB A B A B C C / （2）
（3） C D
A M N
B
N
连结OA,OC
∵BC ⊥MN
∴弧BN=弧NC =21
弧AN
∴∠NOC=∠AMN=30°
∴∠AOC=∠AON+∠NOC=90°
∵MN=2
∴OA=OC=MN 21=1
在RT △AOC 中由勾股定理得 AC=22OC OA + =2
即PA+PB 最小值为2
变形3： 点A 的坐标为（0，2）点，点B 是半径为2的⊙B 的圆心，点B 的坐标为（4，2），请你探索在x 轴上是否存在一个点C 以及在⊙B 上是否存在一个点D ，使得AC+CD 最小，若存在，请你在图中作出点C 和点D ，并求出点C 、D 的坐标和AC+CD 的最小值；若不存在请说明理由。

理解转化题意：点A 点B 在X 轴的同旁,作点A 关于x 轴的对称点E ，连结BE 交X 轴于点C, ，交⊙B 于点D ，点C 点D 即为所求。

解：作点A 关于x 轴的对称点E ，作直线BE 交x 轴于点C ，交⊙B 于点D ，连接AC ，则点C 、D 即为所求
∵A （0，2）∴E （0，-2）
设BE 的数学表达式为y=kx+b ，则
⎩⎨⎧=+=
2 b 4k -2b ∴k=1
∴y=x-2
∴C(2,0)
过点B 作BG ⊥x 轴于点 G
则CG=4-2=2 BG=2
∴BC=22 BD=2
∴CD=2
∴AC+CD= 22+2=32。

责任编辑：孟建华。