工科数学分析试题卷及答案
考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 %
一、填空题（每题2分，共20分）
1．---→x
x x x sin 1
1lim 30 3-
2．若⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-+=0,0,13sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0=x 处连续，则
a 3- 3．设01lim 23=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ⊂∈=→)(,)(lim 0
x x A x f x x 的定义： ε
δδε)()()(:00
0A x f x x ∈
→∈∀>∍>∀U 5．若当)1(,02
3
+++-→cx bx ax e x x
是3
x 的高阶无穷小，则=a
6
1
=b
2
1
=c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f n
x x ,1)
()
()(lim
2000
，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？ 答： 极小值
姓名: 班级： 学号：
遵
守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范
7．设x x y +=，则dy
dx x
)211(+
⋅
8．设x x y sin =，则=dy dx x
x
x x x
x
)sin ln (cos sin +
9．
⎰=+dx x x 2
1arctan C x +2
arctan 2
1 10．⎰=+dx e
e x
x
12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分）
1．设0,2)
1()1l n (2
s i n
2t a n l
i m 222
2
≠+=-+-+-→c a e d x c x
b x a x x ，则必有（ D ）
（A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9
3
20:0<
<>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ）
（A ）1 ；（B ） 2 ； （C ） 3 ； （D ）0
3．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ）
（A ）)(x f 在),0(δ内单增； （B ）对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f >； （C ）对)0,(δ-∈∀有)0()(f x f >； （D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。

4．)(x f 二阶可导，1)
(lim
,0)0(3
-=''='→x
x f f x ，则（ A ） （A ）())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点； （B ）)0(f 是)(x f 的极大值； （C ）)0(f 是)(x f 的极小值； （D ） （A ），（B ），（C ）都不成
遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范
5．设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=0,00
,1sin )(x x x
x x f n
具有有穷导数，则自然数n 的最小值为（A ） （A ） 2； （B ） 3 ； （C ） 4 ； （D ） 5
6．设∑=+=n i n n
i
n S 111，则=∞→n n S lim （ A ）
（A ）
)122(32- （B ）)122(23- （C ）)14(323- （D ）)14(2
3
3- 7．设)(x f 连续，则下列函数必为偶函数的是（ D ） （A ）⎰x
dt t f 02
)( （B ）⎰x
dt t f 0
2)(
（C ）
[]⎰
--x
dt t f t f t 0
)()( （D ）[]⎰-+x dt t f t f t 0
)()( 8．
⎰
∞
+=+1
)
1(x x dx （ A ）
（A ）
2π； （B ）π； （C ）π2； （D ）4
π 9．设⎰⎰+++=x
x dt t dt t x F 01
022
1111)(，则有（ B ） （A ）0)(≡x F ； （B ）2
)(π
≡
x F ；
（C ）x x F arctan )(=； （D ）x x F arctan 2)(=
10．设⎰=x dt t f x F 0)()(，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤+=21),1(3
1
1
0),1(21)(2
x x x x x f ，则)(x F 在区
间)2,0(内（ D ）
（A ）无界； （B ）递减； （C ）不连续； （D ）连续 三、试解答下列各题：（共30分） 1．叙述并证明拉格朗日中值定理。

（3分）
叙述 1分 证明定理 2分
2．设x
x x y 1
arctan 1arcsin
++=，求dx dy 。

（3分） 解： 1分 x x x x x x
x x y 21
1111)
1(1
121
11122
⋅⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⋅
+⋅
+-
=
' 1分 )
1(21
)1(21
x x x x +-
+=
0= 1分
3．设2
e b a e <<<，证明：)(4
ln ln 2
2
2
a b e a b ->
- （4分） 证：设 0)(,)(4
ln ln )(2
2
2
=---=a f a x e a x x f 0)(,4
ln 2)(22=-=
'e f e x x x f 2分 )(0ln 1)(2
e x x
x x f <<-='' )(x f '下降 0)()(2
='>'e f x f 由此得
↑')(x f 0)()(=>⇒a f b f ，从而得证。

2分
4．设)(x f 在[])0(,0>x x 上连续，在),0(x 内可导，且0)0(=f ，试证：
),0(x ∈∃ξ使)()1ln()1()(ξξf x x f '++= （4分） 证：设)1ln(
)(x x g +=，虽然),0(,0)(x x x g ∈∀≠'
由于)(x g 在[]x ,0上连续，在),0(x 内可导，故)(x f 与)(x g 满足柯西中值
定理条件，从而知：),0(x ∈∃ξ： 2分
ξ
ξ+'=+=--11)
()
1l n ()()0()()0()(f x x f g x g f x f ，即)()1ln(
)1()(ξξf x x f '++= 2分 5．求极限1)(arctan lim 20
2
+⎰+∞
→x dx t x
x （4分）
解：原式()4
1
arctan lim 222π=
+=
+∞
→x x
x x
2分 2分
6．试求由曲面122
2222=-+c z b y a x 与平面c z ±=所围成的几何体体积。

（4分）
解：⎰+=c
dz c
z ab V 022
)1(2π 2分
abc π3
8
=
2分
7．计算积分： （4分）
⎰
+=dx x xe I x 2
32
arctan )
1(
设tdt dx t x t x 2sec tan ,
arctan ===
⎰⎰=⋅⋅=t d t e t
t d t
e t I t t s i n s e c s e c t a n 3
2
2分
()C t t e t
+-=c o s s i n 2
1 C x
x e x ++-⋅=
2a r c t a n 1121 2分
8．计算积分： （4分）
dx x x x x I ⎰
-++=2
22)1()1ln(
解：()
2
222
)
1()(1ln 21x x d x x I -⋅++=⎰ ⎰+---++=22221)1(21)
1(2)1l n (x x dx
x x x 12221
)
1(2)1l n (I x x x --++= 2分
令tdt dx t
x 2sec tan ==
⎰⎰+-+=-=-=C t
t
t t d t t t d t I s i n 21s i n 21ln 221sin 2)(sin sec )tan 1(sec 2231
C x x x x +-+++=
2
121ln
2
212
2
C x x x x x x x I +-+++--++=2
121ln 241)1(2)1ln(2222 2分。