(5)
y′ = earctan x
2 x (1+ x)
(6)
y′ = 1 2 x(1− x)
(7) y′ = sec x
(8)
( ) y′ = n sinn−1 x cos x sin xn + xn−1 sin x cos xn
(9) y′ =
1
(x −1) −x
4．(1)
y
=
(et
4 + e-t
总习题二
1.
（1）y′ = 3 cos 3x − 1 sin x + 2x ⋅ sec2 (x2 ) 2x 5 5
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高等数学作业答案（14-15-1）
（2） y′ = 3ex (cos x − sin x) − s ec x tan x
3.2 洛必达法则
（3）
y′
=
2(1+ x2 ) sin x − 4x cos (1+ x2 )2 cos2 x
(3)
y
=
x cos
x − sin x2
x
(4) y = (x − 2)(x − 3) + (x −1)(x − 3)
+ (x −1)(x − 2)
(5)
y
=
1+ cos x + sin (1+ cos x)2
x
1 1. (1) 4 - x2
−a2
( ) (2)
3
a2 − x2 2
(3) y = −x (1+ x2 )3
k ∈ N ；(2) a ≤ 1 时[a，1− a]； a > 1 为空集．
2
2
3．(1) x = 1 arctan y ；y = 1 arctan x
2
3
2
3
(2) x = ln y ；y = ln x
1− y
1− x
4．[2kπ, (2k +1)π] ， k ∈ Z
g(
x)
=
⎧−1
⎨ ⎩
1
x>0 x≤0
2. 水平渐近线 y = 0 ；垂直渐近线 x = 0 .
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高等数学作业答案（14-15-1）
3.7 曲率
1. 曲率 K = 2 ,曲率半径 ρ = 1 . 2
2. x = π 处曲率最大,为 1. 2
3.8 方程的近似解
1. 1.62109375
总习题三
三、1．
f
[
f
(x)]
8．1
1.2 数列的极限
1．（1） xn ⎯n⎯→⎯∞→ 3 ；（2） xn ⎯n⎯→∞⎯→ 0 ；
(3) 极限不存在； (4) 极限不存在． 1.3 函数的极限
1．(1)
例：
f
(x)
=
⎧1 ⎨⎩−1
x > 0 ， g(x) = 0 x≤0
小，但商为无穷大．
（3）错．例：当 x → +∞ 时， −x 和 x +1均是
3． lim x = 1， 当 x → 0 时， x 左、右极限不
x→0 x
x
一样，极限不存在．
5．（2）ϕ（π ）= 1 ,ϕ（π ）= 2 , ϕ（2）= 0 ． 624 2
6．(1)奇，(2)奇．
4．不存在 1.4 无穷小与无穷大
1．（1）正确．
7． x ≤ 0 或 (−∞, 0]
（2）错．例：当 x → 0 时， x 与 x2 均是无穷
2．(1) 极限不存在；
(2) arctan x ⎯x⎯→−⎯∞→− π ， 2
arctan x ⎯x⎯→+⎯∞→ π , 2
x → ∞ 时, arctan x 的极限不存在；
(3) 1 + e−x ⎯x⎯→+⎯∞→1，
1+ e−x ⎯x⎯→−⎯∞→ ∞,
x → ∞ 时，1 + e−x 的极限不存在．
(6)1；(7) e-2 ；(8) 1 2
2、-1； 3、2．
1 ，- 8，∞ ． 25 2、 a = 4，b = 3 ．
2、(1) ln 2 + 1 ；(2) 0；(3) 1/2；(4) 1； e +1
(5) 0；(6) − sin α ．(7) ln a
总习题一
1.7 无穷小的比较
1、偶函数． 2、 (1)无极限 (2) 无极限．
七、 a = 0,b = −3 .
10. h = 4 R, r = 2 2 R
3
3
11. 3 3
高等数学期中自测试题
一、B A D A D
二 、 1 ． 12 ； 2. ln 2 ； 3. −1 ；
5
y sin ( xy ) − ex+y 4． ex+ y − x sin ( xy) ；
5． f ′(1) > f (1) − f (0) > f ′(0) .
11、 n = 2 ， a = 4 12、 x = 0 第一类跳跃
1.8 函数的连续性与间断点
13、 x = ±1,第一类跳跃
1、连续
14、(1) −3 ；(2) e−1 ；(3) 4
2、 (1) x = 2 ，第一类可去，补充定义-4；
第二章 导数与微分
x = 3 ，第二类无穷． (2) x = 0，x = kπ + π ，第一类可去，
Δx Δx
5． 2 . 3
2.提示：对函数ϕ(x) = ex 在 0 到 b − a 之间应用
四、 d y = 1 d x . (1+ ln y)x
Lagrange 中值定理。
5
4. (1) 1 (2) 0 (3)
2
(4) e2 (5) ∞
5. (−∞, 2 a), (a, +∞) 单调增, ( 2 a, a) 上单调减.
2．(1) n! (2) (x + n)ex.
2、（1）-2
（2）
2
π (
+ 1)
42
3. −4ex cos x
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
3. (1) y′ = 8(2x + 5)3 (2) y′ = 3sin(4 − 3x)
(3) y′ = −x
(4) y′ = 2sin 4x
a2 − x2
3. y(n) = 2n-1 sin(2x + n -1π ). 2
4. 1 f ′′(t)
5.
(tan x)sin x (cos x ln tan x + sec x) + xx (ln x +1)
6.
− 2x dx. 1+ x4
第三章 微分中值定理与导数的应用
3.1 微分中值定理
1.提示：首先验证函数满足 Lagrange 定理的条件，
4、 f（0 − 0）= 1，f（0 + 0）= −1 = f（0）,
3、2，-1 4、 y −1 = x, y −1 = −x
2.2 函数的求导法则
1、（1） y′ = ln 2 + 2 x ln 2 + 2x
(2) y =
-1
x (1+ x )2
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高等数学作业答案（14-15-1）
高等数学作业答案（14-15-1）
第一章 函数、极限与连续 1.1 映射与函数
(2)
例：
f
(x)
=
⎧1 ⎨⎩−1
x > 0， x≤0
1．(1) f（x）与 h（x）相同；
g（x）与 f（x），h（x）不同．
(2) f（x）与 ψ（x）相同；
ϕ（x）与 f（x），ψ（x）不同．
2．(1)
[- (2k +1)π, - 2kπ ] ∪ [ 2kπ, (2k +1)π ]
x
(4) y′ = − sec2 (1− 2 x ) (5) y′ = − 1
x
1+ x2
(6)
y′
=
x
ln
1
x ln (ln
x)
(7)
y′
=
3x 2 + 2 x ln 2 (x 3 + 2 x ) ln 2
−
1 2x
x
cos
1 x
(8) y′ = arcsin x 2
2. 250 (−x2 sin 2x + 50x cos 2x + 1225 sin 2x) 2
并可求得 ξ = 2 − 3 ∈ (1, 2) , 使 f ′(ξ ) = f (2) − f (1) .
2 −1 2.方程 f ′(x) = 0 有且仅有三个实根,它们分别在
3
1
1.
2.
2
2
6. 1 f ′′(a) 2
1
3.
2
4. 1 5. 1
3.3 泰勒公式
1. f (x) = − 1 ln 2 − (x − π ) − (x − π )2
1、(1) arctan x ~ x ；
4、-1 6、0
7、2 x 8、3
(2) a = e 时等价; a ≠ e 时同阶；
(3) 同阶； (4) 同阶．
9、(1) a ； (2) 2 e n
(3) 3 abc 10、0
2、(1) n = 6 ； (2) n = 1； (3) m = 1 ，n = 2 ． 2
2
2
3.[− 2 , 2] 单调增, (−∞, − 2] ,[ 2 , +∞) 单调减.
33
33
4. 凸区间 (−∞,1] ,凹区间[1, +∞) , 拐点 (1, − 11) 9