习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1()1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求((),(),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1(sin ,()sin 66244(sin()(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。

证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明：(1)设12(),()f x f x 均为偶数，则1122()(),()()f x f x f x f x -=-=令12()()()F x f x f x =+于是1212()()()()()()F x f x f x f x f x F x -=-+-=+=故()F x 为偶函数设12(),()g x g x 均为奇函数，则1122()(),()()g x g x g x g x -=--=-令12()()()G x g x g x =+于是1212()()()()()()G x g x g x g x g x G x -=-+-=-+-=-故()G x 为奇函数(2)设12(),()f x f x 均为偶数，则1122()(),()()f x f x f x f x -=-=令12()()()F x f x f x =⋅于是1212()()()()()()F x f x f x f x f x F x -=-⋅-==故()F x 为偶函数设12(),()g x g x 均为奇函数，则1122()(),()()g x g x g x g x -=--=-令12()()()G x g x g x =⋅于是121212()()()()()()()()G x g x g x g x g x g x g x G x -=-⋅-=-⋅-==故()G x 为偶函数设()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，则()(),()()f x f xg x g x -=-=-令()()()H x f x g x =⋅于是[]()()()()()()()()H x f x g x f x g x f x g x H x -=-⋅-=-=-⋅=-故()H x 为奇函数7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？2222(1)(1);1(3);1(5)sin cos 1;y x x x y x y x x =--=+=-+23(2)3;(4)(1)(1);(6)2x xy x x y x x x a a y -=-=-+-=解：（1）因为2222()()1()(1)()f x x x x x f x ⎡⎤-=---=-=⎣⎦所以()f x 为偶函数（2）因为2323()3()()3f x x x x x-=---=+()(),f x f x -≠且()()f x f x -≠-所以()f x 既非偶函数又非奇函数（3）因为22221()1()()1()1x x f x f x x x----===+-+所以()f x 为偶函数（4）因为()(1)(1)()f x x x x f x -=-+-=-所以()f x 奇函数（5）因为()sin()cos()1sin cos 1,f x x x x x -=---+=--+()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-所以()f x 既非偶函数又非奇函数（6）因为()()2x xa af x f x -+-==所以()f x 为偶函数8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期2(1)cos(2);(3)1sin ;(5)sin y x y x y xπ=-=+=(2)cos 4;(4)cos ;y x y x x ==解：（1）是周期函数，周期2l π=（2）是周期函数，周期2lπ=（3）是周期函数，周期2l =（4）不是周期函数（5）是周期函数，周期l π=9.求下列函数的反函数(1)(3)(0);(5)1ln(2);y ax by ad bc cx dy x =+=-≠+=++1(2);1(4)2sin 3(662(6)21xxxy xy x x y ππ-=+=-≤≤=+解：（1）由y=31x y =-，既反函数为31y x =-（2）由11x y x -=+解得11yx y -=+，既反函数为11x y x -=+（3）由ax b y cx d +=+解得dy bx cy a -+=-，既反函数为dx b y cx a-+=-（4）由2sin 3()66y x x ππ=-≤≤解得1arcsin 32yx =，既反函数为1arcsin32xy =（5）由1ln(2)y x =++解得log 1yx y=-，既反函数为log1xy x=-（6）由221x x y =+解得2log 1yx y=-，既反函数为2log 1xy x=-10.设函数()f x 在数集X 上有定义，试证：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界解：设()f x 在X 上有界，既存在0M >，使得(),,f x M x X ≤∈故(),,M f x M x X -≤≤∈既()f x X 上有上界M ，下界M-反之，设()f x 在X 上有上界1K ，下界2K ，即21(),K f x K x X≤≤∈取{}12max ,MK K =，则有(),f x M x X≤∈即()f x 在X 上有界11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x的函数值21212212212212(1),sin ,,;63(2)sin ,2,,;84(3)1,1,2;(4),,0,1;(5),,1,1u xy u u x x x y u u x x x y u x x x y e u x x x y u u e x x ππππ=========+==========-解：22121212122221213(1)sin ,,44(2)sin 2,1(3)(4),1,(5),,x x y x y y y x y y y y y y e y y e y e y e y e -===============12.设的定义域[]0,1D=，求下列各函数的定义域：2(1)();(3)()(0);f x f x a a +>(2)(sin )(4)()()(0)f x f x a f x a a ++->解：[][][]2(1)011,1(2)0sin 12,(21),(3)01,1x x x x n n n Z x a x a a ππ≤≤⇒∈-≤≤⇒∈+∈≤+≤⇒∈--01(4)01x a x a ≤+≤⎧⇒⎨≤-≤⎩当102a <≤时，[],1x a a ∈-；当12a >时定义域为∅13.设1,1()0,1,()1,1xx f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[]()f g x 和[]()g f x ，并作出这两个函数的图形解：[]1,0()()0,01,0xx f g x f e x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩[]()1,1()1,1,1f x e x g f x e x e x -⎧<⎪===⎨⎪>⎩[]()f g x 与[]()g f x 的图形依次如图12-，图13-所示14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40 = （图1-4）.当过水断面ABCD 的面积为定值0S 时，求湿周()L L AB BC CD =++与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域解：sin 40hAB CD ==又01(2cot 40)2S h BC BC h ⎡⎤=++⋅⎣⎦得0cot 40S BC h h=-⋅ 所以02cos40sin 40S L h h -=+而0h >且0cot 400S h h-⋅> ，因此湿周函数的定义域为15.设xOy 平面上有正方形}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线:(0)l x y t t +=≥若()S t 表示正方形D 位于直线左下方部分的面积，试求()S t 与t 之间的函数关系解：当01t ≤≤时，21()2S t t=当12t <≤时，2211()1(2)2122S t t t t =--=-+-当2t >时，()S t 1=故221,012121,1221,2t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩16.求联系华氏温度（用F 表示）和摄氏温度（用C 表示）的转换公式，并求（1）90F的等价摄氏温度和5C - 的等价华氏温度；（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？解：设,FmC b =+其中,m b 均为常数因为32F = 相当于0,212C F == 相当于100C = ，所以2123232, 1.8100b m -===故 1.832F C =+或5(32)9C F =-5(1)90,(32)32.295, 1.8(5)3223F C F C F ==-≈=-=⨯-+=(2)设温度值t 符合题意，则有1.82,40t t t =+=-即华氏40-恰好也是摄氏40-17.已知Rt ABC 中，直角边AC BC ，的长度分别为2015，，动点P 从C 出发，沿三角形边界按CB A →→方向移动；动点Q 从C 出发，沿三角边界按C A B →→方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q 移动的速度是点P 移动的速度的2倍.设动点P 移动的距离为x ，CPQ 的面积为y ，试求y 与x 之间的函数关系.解：因为20,15,ACBC ==所以,25AB ==由202152025<⋅<+可知，点,P Q 在斜边AB 上相遇令2152025x x +=++得20x =，即当20x =时，点,P Q 相遇，因此所求函数的定义域为(0,20)（1）当010x <<时，点P 在CB 上，点Q 在CA 上（图1-5）由,2CPx CQ x ==，得2y x =（2）当1015x ≤≤时点P 在CB 上点Q 在AB 上（图1-6）,220CP x AQ x ==-设点Q 到BC 的距离为h ，则452,202525BQ hx -==得4(452)5h x =-，故2124(452)18255y xh x x x x==-=-+（3）当1520x <<时点,P Q 都在AB 上（图1-7）15,220,603BP x AQ x PQ x=-=-=-设点C 到AB 的距离为h '，则15201225h ⋅'==得1183602y PQ h x '=⋅=-+综上可得22,010418,1015518360,1520x x x x x x x ⎧<<⎪⎪-+≤≤⎨⎪-+<<⎪⎩18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测2020年的世界人口解：1.1，于是由表中第3列，猜想2008年后世界人口的年增长率是00在2008年后的第t年，世界人口将是p t=⨯（百万）()6708.2(1.011)tt=，于是2020年对应1212(12)6708.2(1.011)7649.3p=⨯≈（百万）≈亿即推测2020年的世界人口约为76亿习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：{}21(1);21(3)2;(5)(1);1(7);n n n n n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎧⎫+⎨⎬⎩⎭-⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1(2)(1);1(4);121(6);31(8)(1)1n n n nn n n n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭-⎧⎫⎨⎬+⎩⎭⎧⎫-⎨⎬⎩⎭+⎧⎫⎡⎤-+⎨⎬⎣⎦⎩⎭解:(1)收敛，2lim 0nn →=(2)收敛，1lim(1)0nn n→∞-=(3)收敛，21lim(2)2n n→∞+=(4)收敛，1lim11n n n →∞-=+(5){}(1)nn -发散(6)收敛，21lim 03n n →∞-=(7)1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散（8)1(1)1nn n +⎧⎫⎡⎤-+⎨⎬⎣⎦⎩⎭发散2.(1)数列的有界性是数列收敛的什么条件？(2)无界数列是否一定收敛？(3)有界数列是否一定收敛？解：(1)必要条件(2)一定发散(3)未必一定发散，如数列{}(1)n-有界，但它是发散的3.下列关于数列的极限是的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例。