新人教版八年级数学上册（全册）同步练习汇总第十一章三角形11.1与三角形有关的线段专题一三角形个数的确定1．如图,图中三角形的个数为（）A．2 B．18 C．19 D．202．如图所示,第1个图中有1个三角形,第2个图中共有5个三角形,第3个图中共有9个三角形,依此类推,则第6个图中共有三角形__________个．3．阅读材料,并填表：在△ABC中,有一点P1,当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时,可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时,若其他条件不变,三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …4．三角形的三边分别为3,1－2a,8,则a的取值范围是（）A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－25. 在△ABC中,三边长分别为正整数a、b、c,且c≥b≥a＞0,如果b=4,则这样的三角形共有______个．6．若三角形的三边长分别是2、x、8,且x是不等式22x+＞123x--的正整数解,试求第三边x的长．状元笔记【知识要点】1．三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边．2．三角形三条重要线段(1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．(3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．3．三角形的稳定性三角形具有稳定性．【温馨提示】1．以“是否有边相等”,可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形,等边三角形是等腰三角形的一种．2．三角形的高、中线、角平分线都是线段,而不是直线或射线．【方法技巧】1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时,要看两条较短边之和是否大于最长边．2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形,这两个三角形面积相等．参考答案:1．D 解析：线段AB上有5个点,线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样,线段DE上也有5个点,线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形,图中三角形的个数为20个．故选D．2．21 解析：根据前边的具体数据,再结合图形,不难发现：后边的总比前边多4,若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3,则第n个图形中,三角形的个数是4n－3．所以当n=6时,原式=21．解析：当△ABC内有1个点时,构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时,构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知,三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时,三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1,故当有3个点时,三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时,三角形的个数是1007×2＋1=2015．4．B 解析：根据题意,得8－3＜1－2a＜8＋3,即5＜1－2a＜11,解得－5＜a＜－2．故选B．5．10 解析：∵在△ABC中,三边长分别为正整数a、b、c,且c≥b≥a＞0,∴c＜a+b．∵b=4, ∴a=1,2,3,4．a=1时,c=4；a=2时,c=4或5；a=3时,c=4,5,6；a=4时,c=4,5,6,7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个．6．解：原不等式可化为3（x+2）＞－2（1－2x）,解得x＜8．∵x是它的正整数解,∴x可取1,2,3,5,6,7．再根据三角形三边关系,得6＜x＜10,∴x=7．11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点,∠A=50°,则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°2．如图,已知：在直角△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P,求∠BPA的度数．3．已知：如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD 的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中,若∠D=40°,∠B=30°,试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角,其他条件不变,试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图,△ABC中,CD是∠ACB的角平分线,CE是AB边上的高,若∠A=40°,∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧,猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系,并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角,而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时,可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,∴∠1=12∠ACE,∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2,∠A=∠ACE－∠ABC,∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°,所以∠BAC＋∠ABC=90°,所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC,AP平分∠BAC ,∠BAP=12∠BAC,∠ABP=12∠ABC ,即∠BAP＋∠ABP=45°,所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°,所以∠BAC＋∠ABC=90°,所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°,因为BD平分∠ABC,AP平分∠BAC,∠DBC=12∠ABC,∠PAC=12∠BAC ,所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得,∠1+∠D=∠3+∠P,∠2+∠P=∠4+∠B, ∴∠1－∠3=∠P－∠D,∠2－∠4=∠B－∠P,又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠P－∠D=∠B－∠P,即2∠P=∠B+∠D,∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC,与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和,可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°,整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O,则∠AOB=∠POC,∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD,即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°,∠B=72°, ∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=12∠ACB=34°．∵CE是AB边上的高,∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．（2）∠DCE=12（∠B－∠A）．6．（1）证明：延长BD交AC于点E,∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角,∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．11.3多边形及其内角和专题一根据正多边形的内角或外角求值1．若一个正多边形的每个内角为150°,则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．92．一个多边形的每一个外角都等于36°,则该多边形的内角和等于________°．3．已知一个多边形的每一个内角都相等,且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍,求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案,图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720°5．如图,∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如图,求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．状元笔记【知识要点】1．多边形及相关概念多边形：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和与外角和内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°．外角和：多边形的外角和等于360°．【温馨提示】1．从n边形的一个顶点出发,可以做(n－3)条对角线,它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．2．多边形的外角和等于360°,而不是180°．【方法技巧】1．连接多边形的对角线,将多边形转化为多个三角形,将多边形问题转化为三角形问题来解决．2．多边形的内角和随边数的变化而变化,但外角和不变,都等于360°,可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．参考答案:1．A 解析：∵每个内角为150°,∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°,360°÷30°=12,∴这个正多边形的边数为12．故选A．2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10,多边形的内角为180°－36°=144°,∴多边形的内角和等于144°×10=1440°．3．解：设多边形的边数为n,根据题意,得(n－2)·180°=9×360°,解得n=20．所以这个多边形的边数为20．4．B 解析：∵∠1=∠C+∠D,∠2=∠E+∠F,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．5．360°解析：在四边形BEFG中,∵∠EBG=∠C+∠D,∠BGF=∠A+∠ABC,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．6．解：∵∠POA是△OEF的外角,∴∠POA=∠E+∠F．同理：∠BPO=∠D+∠C．∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．第十二章全等三角形12.1全等三角形12.2三角形全等的判定专题一三角形全等的判定1．如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：△ABE≌△CDF．2．如图,在△ABC中,D是BC边上的点（不与B,C重合）,F,E分别是AD及其延长线上的点,CF ∥BE. 请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明．（1）你添加的条件是：__________；（2）证明：3．如图,△ABC中,点D在BC上,点E在AB上,BD=BE,要使△ADB≌△CEB,还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件,并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中,能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二 全等三角形的判定与性质4．如图,已知△ABC 中,∠ABC =45°,AC =4,H 是高AD 和BE 的交点,则线段BH 的长度为（ ）A ．6B ．4C ．23D ．55．【2013·襄阳】如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,AD ⊥BC 于点D ,将△ADC 绕点A 顺时针旋转,使AC 与AB 重合,点D 落在点E 处,AE 的延长线交CB 的延长线于点M ,EB 的延长线交AD 的延长线于点N .求证：AM ＝AN .NME D B CA6．【2012·泸州】如图,△ABC 是等边三角形,D 是AB 边上一点,以CD 为边作等边三角形CDE ,使点E 、A 在直线DC 的同侧,连接AE ．求证：AE ∥BC ．专题三全等三角形在实际生活中的应用7．如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．有一座小山,现要在小山A、B的两端开一条隧道,施工队要知道A、B两端的距离,于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长,就是A、B两端的距离,你能说说其中的道理吗？9．已知如图,要测量水池的宽AB,可过点A作直线AC⊥AB,再由点C观测,在BA延长线上找一点B′,使∠ACB′=∠ACB,这时只要量出AB′的长,就知道AB的长,对吗？为什么？状元笔记【知识要点】 1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等． 3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS ”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS ”)． (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA ”)． (4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS ”)． 4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL ”)． 【温馨提示】 1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等,只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．“HL ”定理指的是斜边和一条直角边分别相等,而不是斜边和直角分别相等． 【方法技巧】 1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角,其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角； （2）对应顶点所对应的边是对应边； （3）公共边（角）是对应边（角）； （4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角）,最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定,如若△ABC ≌△DEF, 说明A 与D,B 与E, C 与F 是对应点,则∠ABC 与∠DEF 是对应角,边AC 与边DF 是对应边． 2．判定两个三角形全等的解题思路：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——参考答案:1．证明：平行四边形ABCD 中,AB=CD,∠A=∠C,AB ∥CD, ∴∠ABD=∠CDB ．∵∠ABE=21∠ABD,∠CDF=21∠CDB,∴∠ABE=∠CDF ．在△ABE 与△CDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDF ABE CDAB C A ∴△ABE ≌△CDF ． 2．解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点),ED FD =,BE CF =中任选一个即可﹒ （2）以DC BD =为例进行证明： ∵CF ∥BE ,∴∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =,∠FDC =∠EDB , ∴△BDE ≌△CDF ． 3．解：（1）添加条件②,③,④中任一个即可,以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD,BE=BD, ∴AB=CB ．又∠ABD=∠CBE,BE=BD, ∴△ADB ≌△CEB ． （2）③④．4．B 解析：∵∠ABC =45°,AD ⊥BC ,∴AD =BD ,∠ADC =∠BDH , ∠AHE =∠BHD =∠C ．∴△ADC ≌△BDH ．∴BH =AC =4．故选B ． 5．证明：如图所示,M∵△AEB 由△ADC 旋转而得,∴△AEB ≌△ADC .∴∠3＝∠1,∠6＝∠C ． ∵AB ＝AC ,AD ⊥BC , ∴∠2＝∠1,∠7＝∠C .∴∠3＝∠2,∠6＝∠7． ∵∠4＝∠5,∴∠ABM ＝∠ABN ． 又∵AB ＝AB ,∴△AMB ≌△ANB ． ∴AM ＝AN ．6．证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形, ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°．∴∠BCA －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD , 即∠BCD ＝∠ACE ． 在△DBC 和△EAC 中,BC ＝AC ,∠BCD ＝∠ACE ,DC ＝EC , ∴△DBC ≌△EAC （SAS ）． ∴∠DBC ＝∠EAC ．又∵∠DBC ＝∠ACB ＝60°, ∴∠ACB ＝∠EAC ． ∴AE ∥BC ．7．B 解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形,又∵BC=EF,AC=DF,∴Rt △ABC ≌Rt △DEF ．∴∠ABC=∠DEF,∵∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选B ．8．解：在△ABC 和△CED 中, AC=CD,∠ACB=∠ECD,EC=BC,∴△ABC ≌△CED ． ∴AB=ED ．即量出DE 的长,就是A 、B 两端的距离． 9．解：对． 理由： ∵AC ⊥AB,∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C 中,ACB ACB AC AC CAB CAB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠′，，∠∠′， ∴△ABC ≌△AB′C （ASA ）． ∴AB′=AB ．12.3 角的平分线的性质专题一利用角的平分线的性质解题1．如图,在△ABC中,AC=AB,D在BC上,若DF⊥AB,垂足为F,DG⊥AC,垂足为G,且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,21BAC B∠∠,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点∶∶E,AC=3 cm,求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图,三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处5．如图,要在河流的南边,公路的左侧M区处建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离）,则图中工厂的位置应在__________,理由是__________．6．已知：有一块三角形空地,若想在空地中找到一个点,使这个点到三边的距离相等,试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点,不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点,还有相邻两外角的平分线的交点,这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等,若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段,若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等,然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段,再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后,证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，,∴AD 是BAC ∠的平分线, ∴BAD CAD =∠∠． 在ABD △和ACD △中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠,∴90BDA =︒∠,∴AD BC ⊥． 2．证明：∵AO 平分∠BAC ,OD ⊥AB ,OE ⊥AC ,∴OD =OE ,在Rt △BDO 和Rt △CEO 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ．3．解：∵∠C =90°,∴∠BAC +∠B =90°,又DE ⊥AB ,∴∠C =∠AED =90°, 又21BAC B =∶∶∠∠,∴∠A =60°,∠B =30°, 又∵AD 平分∠BAC ,DC ⊥AC ,DE ⊥AB , ∴DC =DE ,∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BED AED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ）, ∴3BE AE == cm ．4．C 解析：根据角平分线的性质,集贸市场应建在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上,且距A1cm 处 角平分线上的点到角两边的距离相等 6．解：作两个角的平分线,交点P 就是所求作的点．第十三章轴对称13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．【2012·连云港】下列图案是轴对称图形的是（）2．众所周知,几何图形中有许多轴对称图形,写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）3．如图,阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形,请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形,使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图,△ABC和△ADE关于直线l对称,下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图,∠A=90°,E为BC上一点,A点和E点关于BD对称,B点、C点关于DE对称,求∠ABC 和∠C的度数．6．如图,△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′,直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′,它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是（）A．3 B．2 C3D．18．如图,在△ABC中,BC=8,AB的垂直平分线交BC于D,AC的垂直平分线交BC与E,则△ADE 的周长等于________．9．如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－2,3）关于y轴的对称点为Q（a,b）,则a+b的值是（）A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a,2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点,称为整点）,则P1点的坐标是__________．状元笔记【知识要点】1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(－x,y)；【温馨提示】1．轴对称图形是针对一个图形而言,是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言,它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中,关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同,纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数,纵坐标相同．参考答案:1．D 解析：∵将D图形上下或左右折叠,图形都能重合,∴D图形是轴对称图形, 故选D．2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3．如图所示：4．A 解析：根据轴对称的定义可得,如果△ABC和△ADE关于直线l对称,则△ABC≌△ADE,即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等,故l垂直平分DB,∠C=∠E,即②,③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交,那么,交点一定在对称轴上,故BC与DE 的延长线的交点一定落在直线l上,即④正确．综上所述,①②③④都是正确的,故选A．5．解：根据题意A点和E点关于BD对称,有∠ABD=∠EBD,即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．B点、C点关于DE对称,有∠DBE=∠BCD,∠ABC=2∠BCD．且已知∠A=90°,故∠ABC+∠BCD=90°．故∠ABC=60°,∠C=30°．6．解：（1）对称点有A和A',B和B',C和C'．（2）连接A、A′,直线m是线段AA′的垂直平分线．（3）延长线段AC与A′C′,它们的交点在直线m上,其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上,即若两线段关于直线m对称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．7．B 解析：在Rt△FDB中,∵∠F＝30°,∴∠B＝60°．在Rt△ABC中,∵∠ACB＝90°,∠ABC ＝60°, ∴∠A＝30°．在Rt△AED中,∵∠A＝30°, DE＝1,∴AE＝2．连接EB. ∵DE是AB的垂直平分线,∴EB＝AE＝2. ∴∠EBD＝∠A＝30°．∵∠ABC＝60°,∴∠EBC＝30°．∵∠F＝30°,∴EF＝EB＝2．故选B．8．8 解析：∵DF是AB的垂直平分线,∴DB=DA．∵EG是AC的垂直平分线,∴EC=EA．∵BC=8,∴△ADE的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8．9．解：AB+BD=DE．证明：∵AD⊥BC,BD=DC,∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE．∴AB=CE．∴AB+BD=CE+DC=DE．10．C 解析：关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等,∴a=2,b=3．∴a+b=5．解得1.5＜a＜2.5,又因为a必须为整数,∴a=2．∴点P2（－1,－1）．∴P1点的坐标是（－1,1）．13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中,BF、CF是角平分线,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)2．如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在边AB、BC、AC上,且BE=CF,AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时,求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时,∠EDF+∠EFD=120°,并请说明理由．3．如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10,求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,以O为圆心,OP长为半径画弧交BC于点D,连接PD,如果PO=PD,那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状,并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时,M、N 同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后,M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后,可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在,请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图,A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置,直线a表示输水总管道,直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点,安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼,要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中,点A′是点A关于直线b的对称点,A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点,B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图,现准备在一条公路旁修建一个仓储基地,分别给A、B两个超市配货,那么这个基地建在什么位置,能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中,在两个三角形中时,上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法,当要证明同一个三角形的两个内角相等时,可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法,当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时,可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题,本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．。