热点一 分组转化求和 例1 等比数列{an}中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两
个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 思维启迪 解 (1)根据表中数据逐个推敲确定{an}的通项公式；(2)分组求和. 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18
＋
(1)求{an}的通项公式； 1 (2)设 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an· an＋2 解 4 (1)由 S3＝6，得 a2＝2.∵a3－a1,2a2，a8 成等比数列，∴(2d)· (2＋6d)＝42，解得 d＝1 或 d＝－ ， 3
∵d>0，∴d＝1.∴数列{an}的通项公式为 an＝n. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ [(1－ )＋( － )＋( － )＋( － )＋…＋( － )] 1· 3 2· 4 3· 5 3 2 4 3 5 4 6 n n＋2 nn＋2 2 3n2＋5n 13 1 1 ＝ ( － － )＝ . 2 2 n＋1 n＋2 4n＋1n＋2 已知等差数列{an}是递增数列，且满足 a4· a7＝15，a3＋a8＝8. (1)求数列{an}的通项公式； 1 1 (n≥2)，b1＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (2)令 bn＝ 3 9an－1an (1)根据题意 a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4· a7＝15，所以 a4，a7 是方程 x2－8x＋15＝0 的两根，且 a4<a7， 2 解得 a4＝3，a7＝5.设数列{an}的公差为 d，由 a7＝a4＋(7－4)· d，得 d＝ . 3 2 n ＋ 1 2 故等差数列{an}的通项公式为 an＝a4＋(n－4)· d＝3＋(n－4)· ＝ . 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)当 n≥2 时，bn＝ ＝ ＝ ＝ ( － )，又 b1＝ ＝ (1－ )， 3 2 3 9an－1an 2n－1 2n＋1 2n－12n＋1 2 2n－1 2n＋1 · 9· 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 n 所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝ (1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ (1－ )＝ . 2 3 3 5 2n－1 2n＋1 2 2n＋1 2n＋1 n 即数列{bn}的前 n 项和 Sn＝ . 2n＋1 解
(1)求数列{an}的通项公式； n (2)若 bn＝ ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，n∈N*，证明：Tn<2. an＋1－an 思维启迪 (1)n>1 时，Sn＝2Sn－1＋n 两式相减得{an}的递推关系式，然后构造数列求通项；(2)先利用错位
相减法求出 Tn，再放缩. (1)解 即 ∵Sn＋1＝2Sn＋n＋1，当 n≥2 时，Sn＝2Sn－1＋n，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
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押题精练 1.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第 n(n≥2)行的第 2 个数为________.
答案
n2－2n＋3 解析
由题意可知：图中每行的第二个数分别为 3,6,11,18，…，
即 a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…，∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3， ∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)，∴an＝n2－2n＋3. 2.秋末冬初， 流感盛行， 特别是甲型 H1N1 流感.某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an}， 已知 a1＝1，a2＝2，且 an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院 30 天入院治疗甲流共有________人. 答案 255 解析 由于 an＋2－an＝1＋(－1)n，所以 a1＝a3＝…＝a29＝1， 15× 14 × 2＝255. 2
3n－1 1 3n an＋ ＝ ，因此{an}的通项公式为 an＝ . 2 2 2 1 2 － (2)证明 由(1)知 ＝ n .因为当 n≥1 时，3n－1≥2× 3n 1， an 3 －1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 所以 n ≤ n－1.于是a ＋a ＋…＋a ≤1＋3＋…＋ n－1＝2(1－3n)<2. 3 －1 2× 3 3 1 2 n 1 1 1 3 所以 ＋ ＋…＋ < . a1 a2 an 2
an＋1＋1 ＝2(n≥2)，①又 S2＝2S1＋2，a1＝S1＝1，∴a2＝3， an＋1 a2＋1 ＝2，∴当 n＝1 时，①式也成立，∴an＋1＝2n，即 an＝2n－1(n∈N*). a1＋1
∴
n n n (2)证明 ∵an＝2n－1，∴bn＝ n＋1 ＝ n＋1 n＝ n， n 2 2 －1－2 －1 2 －2 n－1 1 2 3 n 1 1 2 n ∴Tn＝ ＋ 2＋ 3＋…＋ n， Tn＝ 2＋ 3＋…＋ n ＋ n＋1， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 n ∴两式相减，得 Tn＝2( ＋ 2＋ 3＋…＋ n－ n＋1)＝2－ n－1－ n<2. 2 2 2 2 2 2 2
n n n
－ －
n
思维升华 在处理一般数列求和时， 一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数
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列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分 组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以 合并为一个公式. 1 已知数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝( )n(n∈N*). 2 (1)求证：数列{a2n}与{a2n－1}(n∈N*)都是等比数列； (2)若数列{an}的前 2n 项和为 T2n，令 bn＝(3－T2n)· n· (n＋1)，求数列{bn}的最大项. an＋2 1 1 1 ＋ (1)证明 因为 anan＋1＝( )n，an＋1an＋2＝( )n 1，所以 ＝ . an 2 2 2 1 1 又 a1＝1，a2＝ ，所以数列 a1，a3，…，a2n－1，…，是以 1 为首项， 为公比的等比数列； 2 2 1 1 数列 a2，a4，…，a2n，…，是以 为首项， 为公比的等比数列. 2 2 1 1 1 1－ n [1－ n] 2 2 2 1 由(1)可得 T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝ ＋ ＝3－3( )n， 1 2 1 1－ 1－ 2 2
(1)当 a1＝3 时，不合题意；当 a1＝2 时，当且仅当 a2＝6，a3＝18 时，符合题意；
当 a1＝10 时，不合题意. 因此 a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比 q＝3.故 an＝2· 3n
－ － －1
(n∈N*).
－
(2)因为 bn＝an＋(－1)nln an＝2· 3n 1＋(－1)nln(2· 3n 1)＝2· 3n 1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3] ＝2· 3n 1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 所以 Sn＝2(1＋3＋…＋3n 1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]· (ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3. 1－3n n n 当 n 为偶数时， Sn＝2× ＋ ln 3＝3n＋ ln 3－1； 2 2 1－3 1－3n n－1 n－1 n 当 n 为奇数时， Sn＝2× －(ln 2－ln 3)＋ 2 －nln 3＝3 － 2 ln 3－ln 2－1. 1－3 n为偶数， 3 ＋2ln 3－1， 综上所述，S ＝ n－1 3 － 2 ln 3－ln 2－1， n为奇数.
专题四
第2讲
考情解读
数列、推理与证明
总序 10
数列求和及综合应用
高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：(1)以递推公式或图、表形式给出条
件，求通项公式，考查用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题 .(2)通过分组、错位 相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中 档题.
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思维升华 错位相减法求数列的前 n 项和是一种重要的方法.在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征， 即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题. 设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3· 22n 1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由已知得，当 n≥1 时，
－ － ＋1)－1 －
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n 1＋22n 3＋…＋2)＋2＝22(n 而 a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为 an＝2
－
.
2n－1
－.Βιβλιοθήκη (2)由 bn＝nan＝n· 22n 1 知 Sn＝1· 2＋2· 23＋3· 25＋…＋n· 22n 1.① 从而 22· Sn＝1· 23＋2· 25＋3· 27＋…＋n· 22n 1.② 1 － ＋ ＋ ①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n 1－n· 22n 1，即 Sn＝ [(3n－1)22n 1＋2]. 9 热点三 裂项相消法求和 例3 已知等差数列{an}，公差 d>0，前 n 项和为 Sn，S3＝6，且满足 a3－a1,2a2，a8 成等比数列.
(2)解
1 1 ＋ 所以 bn＝3n(n＋1)( )n， bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)( )n 1， 2 2 1 n＋2 1 ＋ 所以 bn＋1－bn＝3(n＋1)( )n( －n)＝3(n＋1)( )n 1(2－n)， 2 2 2 9 所以 b1<b2＝b3>b4>…>bn>…，所以(bn)max＝b2＝b3＝ . 2 热点二 错位相减法求和 例2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，