三角函数的定义
MP tanα = OM
M ′P′ = OM ′
y 叫做角α的正弦, 叫做角 的正弦, r y 记作sinα, 即sinα= r 记作 , ;
任意角的三角函数 :
y P y r A m x l
x 叫做角α的余弦, 叫做角 的余弦, r x 记作cosα ,即cosα= ; 记作 即
y 叫做角α的正切, 叫做角 的正切, x
3 − 5
x −b 3 =− cosα= = 2 r 5 b + 16
探究: 探究: 三角函数值在各象限的符号
P(x,y) o x
y sin α = r x cot α = y
y
x cos α = r r sec = x
y
y tan α = x r csc α = y
( (
+) +
y
(
x )
−
sin α
下面我们研究这些三角函数的定义域:
P(x,y)
o x 比值不随P点位置的改变而改变
y sin α = r x cot α = y
x cos α = r r sec = x
定 义 R R 域
y tan α = x r csc α = y
sin α cos α tan α , sec α cot α , csc α
sin θ < 0 tanθ > 0
① ②
若三角形的两内角α 满足sinα β , 例5.若三角形的两内角α,β满足 αcosβ<0, 若三角形的两内角 则此三角形必为( 则此三角形必为( B ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
1 < 1 ,则θ为第几象限角? 为第几象限角? 例6.已知 已知 2 sin 2ϑ 1 < 1 所以 解:因为 ,所以sin2 θ>0, 2
1.2.1任意角的三角函数 任意角的三角函数
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的? 在初中我们是如何定义锐角三角函数的? P c
b
sin α =
cos α =
tan α =
O
α
a
M
b c a c b a
新课
导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数
o )(
−
−)( +) o x ( −) ( +) cos α
( (
− ) ( +)
+tan
o ) (
− α
x )
练习: 确定下列三角函数值的符号: 练习: 确定下列三角函数值的符号:
解: (1)因为 250 ° 是第三象限角,所以cos 250° < 0 ; 是第三象限角, )
(2)因为 tan( −672°) = tan( 48° − 2 × 360°) = tan 48°, ) 是第一象限角, 而 48°是第一象限角,所以 tan( −672°) > 0 ; π − 是第四象限角,所以 sin − π < 0 . 是第四象限角, (3)因为 ) 4 4
π sin cos (1) 250°(2)tan( −672°)(3) − ) ) ) 4
练习 确定下列三角函数值的符号 4π 17 16 sin( − ) tan( − π ) cos π
−
5
+
3
−
8
求证:当且仅当下列不等式组成立时, 例4 求证:当且仅当下列不等式组成立时, 为第三象限角. 角 θ 为第三象限角
求下列各角六个三角函数值: 例2. 求下列各角六个三角函数值: 3π ;(2) ;( ;(3) (1)0;( )π;( ) ) ;(
2
变式:角 α 的终边在直线 y = 2 x 上,求 α 的六个三角函数值.
的终边过点P(- , , 例3. 角α的终边过点 -b,4),且cosα= 的终边过点 的值是( 则b的值是( A ) 的值是 )-3 (A)3 (B)- (C)±3 (D)5 ) )- ) ) 解:r= b 2 + 16 解得b=3. 解得
1 r 角α的余割: csc α = sin α = y 的余割: 1 x 角α的余切: cot α = tan α = y 的余切:
我们把正弦、余弦,正切、余切,正割及余割都看 成是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上六种 函数统称三角函数.
三角函数是以实数为自变量的函数
实数 →角(其弧度数等于这个实数) →三角函数值(实数)
2
2 π C. x x ∈ R,x ≠ kπ,k ∈ Z} D. x x ∈ R,x ≠ kπ + ,k ∈ Z { 2 m−3 4 − 2m cos (3)若 sin θ = , θ= 都有意义,则 m+5 m+5
m = ________
已知角α的终边过点 ,-3), 例1.已知角 的终边过点 (2,- ),求α的 已知角 的终边过点P( ,- ),求 的 六个三角函数值。 六个三角函数值。 解:因为x=2,y=-3,所以 r = 13 因为 , - , sinα= tanα= secα=
2kπ<2 则2kπ<2θ<2kπ+π, kπ<θ<kπ+ 是第一或第三象限角. 所以θ是第一或第三象限角
π
2
sin 2ϑ
练习
1.函数 函数y= 函数
| sin x | sin x
cos x + | cos x |
+
| tan x | 的值域是 tan x
(C )
(A) {-1,1} - , (C) {-1,3} - ,
(B) {-1,1,3} - , , (D) {1,3} ,
2.已知角 的终边上有一点 -4a, 3a)(a≠0),则 已知角θ的终边上有一点 已知角 的终边上有一点P(- 则 2sinθ+cosθ的值是 ( 的值是
2 (A) 5
2 2 (C) 或 - 5 5
)C
5
(B) - 2 (D) 不确定
A A 3. 设A是第三象限角,且|sin |= -sin ,则 是第三象限角, 是第三象限角 则 2 2
y
﹒P(a, b)
α
M P b tan α = = O M a
o
﹒
M
x
诱思
探究
如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗? 如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y
P′
P(a,b)
∆OMP ∽ ∆OM ′P′
MP sin α = OP
OM cos α = OP
﹒
M
α
O
M′
x
M ′P′ = OP′ ′ OM = OP′
证明: 证明: 因为① 成立,所以 因为①式sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 或第四象限,也可能位于 轴的非正半轴上; 又因为② 成立, 又因为②式 tan θ > 0 成立,所以角θ 的终边可能位于 第一或第三象限. 第一或第三象限 因为①②式都成立, 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立,所以角θ 的终边只能位于第三象限 ①②式都成立 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
r
α
x O
记作tanα,即 tanα= , 记作
y x
它们只依赖于α的大小,与点P 它们只依赖于α的大小,与点P在α终边上的位置无关。 终边上的位置无关。
终边相同的角,三角函数值分别相等。 终边相同的角,三角函数值分别相等。
的其他三种函数: 角α的其他三种函数: 的其他三种函数
1 r = 角α的正割: sec α = 的正割: cos α x
解得y=-1. 解得 -
2 5 所以cosθ= - . 所以 5
如果两个角的终边相同, 如果两个角的终边相同,那么这两个角的
? 同一三角函数值有何关系? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
sin( α + k ⋅ 2π ) = sin α cos(α + k ⋅ 2π ) = cosα tan(α + k ⋅ 2π ) = tanα
作业: 作业:
课本第24页
练习 求下列三角函数值
19π = tan 3
3
31 π )= tan( − 4
1
归纳
总结
1. 内容总结: 内容总结: 三角函数的概念. ①三角函数的概念 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号 诱导公式一. ③诱导公式一 2 .方法总结: 方法总结: 方法总结 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 运用了定义法、公式法、数形结合法解题 3 .体现的数学思想: 体现的数学思想: 体现的数学思想 化归的思想,数形结合的思想. 化归的思想,数形结合的思想
y 3 13 =− r 13
cosα= cotα= cscα=
y 3 =− x 2 r 13 = x 2
x 2 13 = r 13 x 2 =− y 3
r 13 =− y 3
变式1:已知角 的终边过点 的终边过点P( ,- ,-3a) 变式 :已知角α的终边过点 (2a,- )(a<0), , 的六个三角函数值。 求α的六个三角函数值。 的六个三角函数值
P
b
O y
α
a
M
x
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