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高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题1、椭圆G :)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2,短轴两端点B 1、B 2,已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆,且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为.25(1)求此时椭圆G 的方程;(2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ,Q 为EF 的中点,问E 、F 两点能否关于过点P (0,33)、Q 的直线对称若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由.;2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、,动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . (Ⅰ)求k 的取值范围,并求21x x -的最小值;(Ⅱ)记直线11P A 的斜率为1k ,直线22P A 的斜率为2k ,那么,12k k ⋅是定值吗证明你的结论.@[3、已知抛物线2:C y ax =的焦点为F ,点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (1)求抛物线C 的方程。

~(2)证明:点F 在直线BD 上; (3)设89FA FB •=,求BDK ∆的面积。

.{—4、已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率为12,点P (2,3)、A B 、在该椭圆上,线段AB 的中点T 在直线OP 上,且A O B 、、三点不共线. (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率; (Ⅱ)求PAB ∆面积的最大值.-、]5、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ,直线l :2a x =交x 轴于点A ,且122AF AF =.(Ⅰ)试求椭圆的方程;(Ⅱ)过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点(如图所示),若四边形DMEN的面积为277,求DE 的直线方程.]》6、已知抛物线P :x 2=2py (p >0).(Ⅰ)若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3.?(ⅰ)求抛物线P 的方程;(ⅱ)设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ,过E 作抛物线P 的切线,求此切线方程;(Ⅱ)设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ,B 两点,连接AO ,BO 并延长分别交抛物线的准线于C ,D 两点,求证:以CD 为直径的圆过焦点F .@…7、在平面直角坐标系xOy 中,设点(,),(,4)P x y M x -,以线段PM 为直径的圆经过原点O . (Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程;(Ⅱ)过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ,点A 关于y 轴的对称点为'A ,试判断直线'A B 是否恒过一定点,并证明你的结论."》8、已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+.(Ⅰ)求椭圆M 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点,且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C , 求ABC ∆面积的最大值.…!)9、过抛物线C:22(0)y px p =>上一点2(,)p M p 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A 、B 两点。

(1)求证:直线AB 的斜率为定值;(2)已知,A B 两点均在抛物线C :()220y px y =≤上,若△MAB 的面积的最大值为6,求抛物线的方程。

@…—10、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -是长轴的一个四等分点,点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆于C 、D 两点,记直线AD 、BC 的斜率分别为12,.k k (1)当点D 到两焦点的距离之和为4,直线l x ⊥轴时,求12:k k 的值; (2)求12:k k 的值。

~$11、在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为2,其焦点在圆x 2+y 2=1上.(1)求椭圆的方程;(2)设A ,B ,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使 cos sin OM OA OB θθ=+.(i)求证:直线OA 与OB 的斜率之积为定值;(ii)求OA 2+OB 2.?)12、已知圆22222251:(,:(1616M x y M N x y ++=+=的圆心为圆的圆心为N ,一动圆与圆M 内切,与圆N 外切。

)(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程;(Ⅱ)(Ⅰ)中轨迹上是否存在一点Q ,使得MQN ∠为钝角若存在,求出Q 点横坐标的取值范围;若不存在,说明理由.—13、已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点,点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点,且满足0=⋅NF MN .若点P 满足PO ON OM +=2.$(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点,直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T (O为坐标原点),试判断FS FT ⋅是否为定值若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.]14、在平面直角坐标系xOy 中,已知圆B :22(1)16x y -+=与点(1,0)A -,P 为圆B 上的动点,线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ,点R 的轨迹记为曲线C 。

(1)求曲线C 的方程;%(2)曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ,过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M ,N ,连结QM ,QN ,分别交直线(x t t =为常数,且2x ≠)于点E ,F ,设E ,F 的纵坐标分别为12,y y ,求12y y ⋅的值(用t 表示)。

—答案: 1、解:(1)根据椭圆的几何性质,线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心…………………1分 故该椭圆中,22c b a ==即椭圆方程可为22222b y x =+ ………3分设H (x,y )为椭圆上一点,则b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222…………… 4分.若30<<b ,则2||,HN b y 时-=有最大值962++b b…………………5分由25350962±-==++b b b 得(舍去)(或b 2+3b+9<27,故无解)…………… 6分若182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当…………………7分由165018222==+b b 得∴所求椭圆方程为1163222=+y x ………………… 8分(1) 设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ,则由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116321163222222121y x y x 两式相减得0200=+ky x ……③又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为331+=x k y 将点Q (00,y x )代入上式得,33100+-=x k y ……④…………………11分 由③④得Q (33,332-k )…………………12分 >而Q 点必在椭圆内部11632220<+∴y x , 由此得29400294,0,2472<<<<-∴≠<k k k k 或又,故当 )294,0()0,294(⋃-∈k 时,E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称 14分 2、解:(Ⅰ)l 与圆相切,1∴=221m k ∴=+ ……①由221y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ , 得 222(1)2(1)0k x mkx m ---+=, 222222221221044(1)(1)4(1)80101k m k k m m k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∴∆=+-+=+-=>⎨⎪+⎪⋅=<⎪-⎩, 21,k ∴<11k ∴-<<,故k 的取值范围为(1,1)-.】由于12212222111mk x x x x k k k+=∴-===---, 201k ≤< ∴当20k =时,21x x -取最小值 6分(Ⅱ)由已知可得12,A A 的坐标分别为(1,0),(1,0)-,121212,11y y k k x x ∴==+-, 121212(1)(1)y y k k x x ∴⋅=+-1212()()(1)(1)kx m kx m x x ++=+- 2212121221()()1k x x mk x x m x x x x +++=+--22222221211m mkk mk m k k +⋅-⋅+=--22222222=22= 由①,得 221m k -=,12(3k k ∴⋅==-+为定值. 12分3、解:(1) 24y x =设11(,)A x y ,22(,)B x y ,11(,)D x y -,l 的方程为1(0)x my m =-≠.,(2)将1x my =-代人24y x =并整理得2440y my -+=, 从而 12124, 4.y y m y y +==直线BD 的方程为 212221()y y y y x x x x +-=⋅--,即 222214()4y y y x y y -=⋅--令120, 1.4y y y x ===得所以点(1,0)F 在直线BD 上(3)由①知,21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-1212(1)(1) 1.x x my my =--=因为 11(1,),FA x y =-22(1,)FB x y =-,212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-:故 28849m -=,解得 43m =±所以l 的方程为3430,3430x y x y ++=-+= 又由①知 121643y y m +==故1211161622233S KF y y ∆=•+=••=4、解:(I )设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则2212491a a b =⎪⎨⎪+=⎪⎩,得216a =,212b =. 所以椭圆的方程为2211612x y +=.…………………3分 设直线AB 的方程为y kx t =+(依题意可知直线的斜率存在),设1122(,),(,)A x y B x y ,则由2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得》()2223484480k xktx t +++-=,由∆>,得221216b k <+,122212283444834kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,设()00,T x y 002243,3434kt tx y k k =-=++,易知00x ≠,由OT 与OP 斜率相等可得0032y x =,即12k =-, 所以椭圆的方程为2211612x y +=,直线AB 的斜率为12-.……………………6分 (II )设直线AB 的方程为12y x t =-+,即220x y t +-=, 由2212 1.1612y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 得22120x tx t -+-=,/224(12)0t t ∆=-->,44t -<<.………………8分12212,12.x x t x x t +=⎧⎨⋅=-⎩.||AB === 点P 到直线AB的距离为d =.于是PAB ∆的面积为12PAB S ∆==……………………10分 设3()(4)(123)f t t t =-+,2'()12(4)(2)f t t t =--+,其中44t -<<.在区间(2,4)-内,'()0f t <,()f t 是减函数;在区间(4,2)--内,'()0f t >,()f t 是增函数.所以()f t 的最大值为4(2)6f -=.于是PAB S ∆的最大值为18.…………………12分5、解:(Ⅰ)由题意,212||22,(,0)F F c A a ==∴ -------1分 (1222 AF AF F =∴为1AF 的中点------------2分2,322==∴b a 即:椭圆方程为.12322=+y x ------------3分 (Ⅱ)当直线DE 与x 轴垂直时,342||2==a b DE ,此时322||==a MN , 四边形DMEN 的面积||||42DE MN S ⋅==不符合题意故舍掉;------------4分同理当MN 与x 轴垂直时,也有四边形DMEN 的面积不符合题意故舍掉;------------5分当直线,MN 均与x 轴不垂直时,设DE :)1(+=x k y , ~代入消去y 得:.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k ------------6分设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x k k x x y x E y x D 则 ------------7分所以 231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x , ------------8分所以 2221232)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=, ------------9分同理222211)1]3(1)||.1323()2k k MN k k -++==+-+ ------------11分所以四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||k k k k MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=k k k k由22727S k k =⇒=⇒=, ------------12分所以直线0DE l y -=或0DE l y +="或20DE l y -=或20DE l y += ---------13分6、解:(Ⅰ)(ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等,即(,2)M m 到2py =-的距离为3; ∴ 232p-+=,解得2p =.∴ 抛物线P 的方程为24x y =. 4分(ⅱ)抛物线焦点(0,1)F ,抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -,显然过点E 的抛物线的切线斜率存在,设为k ,切线方程为1y kx =-.由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩, 消y 得2440x kx -+=, 6分 216160k ∆=-=,解得1k =±. 7分(∴切线方程为1y x =±-. 8分(Ⅱ)直线l 的斜率显然存在,设l :2p y kx =+, 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 消y 得 2220x pkx p --=. 且0∆>. ∴ 122x x pk +=,212x x p ⋅=-;∵ 11(,)A x y , ∴ 直线OA :11y y x x =, 与2py =-联立可得11(,)22px p C y --, 同理得22(,)22px p D y --. 10分∵ 焦点(0,)2p F , (∴ 11(,)2px FC p y =--,22(,)2pxFD p y =--, 12分∴ 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ⋅=--⋅--22212121212224px px p x x p p y y y y =+=+ 2442221222212120422p x x p p p p p x x x x p p p=+=+=+=- ∴ 以CD 为直径的圆过焦点F . 14分7、解:(I )由题意可得OP OM ⊥, 2分 所以0OP OM ⋅=,即(,)(,4)0x y x -= 4分即240x y -=,即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = 5分 (II )设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ,则11'(,)A x y -.】由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=, 6分则216640k ∆=->,即||2k >. 7分12124,16x x k x x +==. 9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+12分即2144x x y x -=+ 所以,直线'A B 恒过定点(0,4). 13分8、解:(Ⅰ)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+,!所以24622+=+c a , 1分,即c a =,所以c =, 2分 所以3a =,c = 4分所以1b =,椭圆M 的方程为1922=+y x . 5分 (Ⅱ)方法一:不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->,则AC 的方程为)3(1--=x ny . 由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n , 6分 设),(11y x A ,),(22y x B ,因为222819391n x n -=+,所以19327222+-=n n x , 7分同理可得2219327nn x +-=, 8分 "所以1961||22++=n n BC ,222961||n n n n AC ++=, 10分964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC , 12分设21≥+=n n t ,则22236464899t S t t t==≤++, 13分当且仅当38=t 时取等号,所以ABC ∆面积的最大值为83. 14分方法二:不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=, 6分 设),(11y x A ,),(22y x B ,则有12229kmy y k +=-+,212299m y y k -=+. ① 7分[因为以AB 为直径的圆过点C ,所以 0CA CB ⋅=. 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-,得 1212(3)(3)0x x y y --+=. 8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式,得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.将 ① 代入上式,解得 125m =或3m =(舍). 10分 所以125m =(此时直线AB 经过定点12(,0)5D ,与椭圆有两个交点),所以121||||2ABC S DC y y ∆=-^12==12分 设211,099t t k =<≤+,则ABC S ∆= 所以当251(0,]2889t =∈时,ABC S ∆取得最大值83. 14分9、解:(1)不妨设221212,),(,)22y y A y B y p p(211222212,122MA MB AB y y k k y y p k y y p p-=-⇒+=-∴==--…………………………………5分 (2)AB 的直线方程为:221111y-y (),022y y x x y y p p=--+--=即 点M 到AB的距离d =。

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