显然n=1,相当于不动操作(元素)E, n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、 六度转轴
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB A a B 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则 该操作将使B 格点转到 B位臵,则由于转动对称 操作不改变格子,在 B 处必定原来就有一个格点。 因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
A B H E
D
D
C G
F
C
正四面体既无四 度轴也无对称心
参考方俊鑫书 P37-39
A
G
B F E H
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的 独立的对称操作有8种, 即1，2，3，4，6，i， m， 4 。 或C1，C2，C3， C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
3
4
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维 点阵
nm
n2 n2
nm
平行于镜面的n次旋转反演轴
n m或的n次 旋转轴
注意，以上许多的操作并不都是独立的 如旋转--反演对称轴并不都是独立的基本 对称素。如： 3 3i 2m 1i
1 2 1
1
3
5
1 4 6 2
2
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2
Ai Aj Ak , i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E E G, EAi Ai E Ai 3). 存在逆元素 Ai G, Ai1 Ai Ai1 Ai1 Ai E
4). 满足组合定则 ( Ai Aj ) Ak Ai ( Aj Ak ) 在晶体的几何对称性的研究中，每一个能 使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的 元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的 群叫对称性群(symmetry group),包括点群 (point group)和空间群(space group)
由于 ABAB 组成等腰梯形,
因此 m为整数
AB mAB ma,
B
a

A
a a

亦即： a cos( ) a ma 2
m 1 2cos
A
B
1 cos 1
而且,m必须为整数,所以,m只能取 -1,0,1,2,3 与m=-1,0,1,2,3相应的转角为:
构成群的元素要满足以下条件： 设 A1 , A2 , A3 等表示群G中所包含的元素 或操作
即： Ai G, i 1, 2,3, G { Ai }
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
n1,2,3,4,6 n次旋转轴
Cn
n 1, 2, 3, 4, 6 m( 2)
国 际 符 号 镜面反映
旋转-反演轴
Sn
Cs S2 Ci S1 i
I
n m
表示中心反演
垂直于镜面的n次旋转轴
平行于镜面的n次旋转轴 垂直于一个或多个2次轴 的n次主轴 垂直于一个或多个2次轴 的旋转反演轴
点对称操作的类型和对称元素： 对于晶体而言，对称操作就是对晶体进行 几何变换而能复原的操作。晶体中的基本的点 对称操作有三种： 正当转动操作,即绕固定轴的转动 (rotation about an axis) ； 镜面反映 (Reflection across a plane); 中心反演(inversion through a point) ; 2. 相应的对称元素有:对称轴;对称面;对称中心 一个旋转对称操作(rotational symmetry operation)意味着将点阵绕着某个轴旋转某个 角度 或- 以后，点阵保持不变。
四个3次轴、三个2次轴，按四面体型分布
O
四个3次轴、三个4次轴，按八面体型分布
熊 夫 利 符 号
为了表明对称面相对于旋转轴的位置，还有如下附加指标：
下角标h(水平)表示垂直于旋转轴
下角标v(铅直)表示平行于旋转轴 下角标d(对角)表示平行于主轴且平分2次轴之间的夹角
国际符号 国际符号以不超过三个几何上的从优方向 来描述晶体的对称类型，这些方向或平行于对 称轴或垂直于对称面
1
3
4
1
2
2
4
所有点对称操作都可由这8种操作或它们 的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成 一个群，每个操作都是群的一个元素。对称性 不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、 镜象和旋转--反演点对称操作构成32个点群。
表示n次旋转轴
n=1,2,3,4,6
Sn S1 , S2 , S3 , S4 , S6
熊 夫 利 符 号
表示n次旋转-反 演轴 n=1,2,3,4,6
表示n个垂直于主轴的 2次旋转轴n=2,3,4,6
Dn D2 , D3 , D4 , D6
Ci S1 i Cs S2
T
表示中心反演 表示镜面反映
群论作为数学的分支，是处理有一定对称性 的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算， 也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体 系的许多性质作出定性的了解。 群及其表示理论是物理系研究生的一门重要 基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不 打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介 绍一下，让大家对群的概念有一个认识。 一、群的知识简介 1. 群的定义 所谓群(group)就是一些元素(elements)或操 作的集合，常用符号 G 来表示。
第二节 对称性和布拉维格子的分类
本节主要内容:
一、群的知识简介 二、点群和七个晶系
三、空间群和14种布拉维格子
四、点群对称性和晶体的物理性质
§2.2 对称性和布拉维格子的分类 布拉维格子是按其对称性(symmetry)来分类的： 所谓对称性是指在一定的几何操作下，物 体保持不变的特性。 对称性在物理学中是一个非常重要的概念， 它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。 因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等 价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系 统要素就越少，因而描述起来就越简单。 我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的 对称性(symmetry of lattice).
此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型 的符号，一套是熊夫利制订的，称为熊夫利符 号；一套是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin) 制订的，称为国际符号 我们这一节主要介绍这些人得到的结果
二、点群和七个晶系
1. 点群
保持空间某一点固定不动的对称操作，称为 点对称操作。在点对称操作基础上构成的对称 操作群称为点群
A 1 还有：以z=0作为镜面，则有：
x x y y z z
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 1 0 0 a23 0 1 0 a33 0 0 1
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位臵都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素 从数学角度来看，晶体的对称性是对晶体进 行几何变换而能保持晶体性质的不变性,相当于 一个正交线性变换。一个变换就是一种操作。
x x a11 y y a21 z z a 31
a12 a22 a32
a13 x a23 y ; a33 z
正交矩阵 参考方俊鑫固物p32-36 ;或方可固物p13-16 比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x y y cos z sin z y sin z cos
A 1
a11 A a21 a 31
a12 a22 a32
a13 1 0 a23 0 cos a33 0 sin
组合操作: 非正当转动 (improper rotation)
旋转+垂直于转轴 的平面镜像反映
也叫旋转-反映或象转操作
旋转-反演(倒反) 旋转+中心反演 总之，上述对称操作满足数学上构成群的 条件，一个晶体的所有点对称操作集合形成该 晶体点群。理论和实验证明，所有晶体结构的 宏观对称性，可概括为32个晶体点群。
为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在二 维晶格中，旋转轴一定要通过某一个格点而且 垂直平面；在三维晶格中，旋转轴一定要通过 某一个格点而且平行于某一个晶向。 由于晶体周期性的限制，转角只能是:
2 , n 1, 2,3, 4, 6 n
证明见p28
即：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2， 3，4和6重轴 称为晶体的对称性定律