【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之49正弦函数的图像一、选择题（共40小题；共200分）1. 函数y=sin x与y=tan x的图象在 −π2,π2上的交点有 A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 函数y=sin2x−π3在区间 −π2,π 上的简图是 A. B.C. D.3. 函数y=−sin x,x∈ −π2,3π2的简图是 A. B.C. D.4. 若y=sin x是减函数，y=cos x是增函数，那么角x在 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数y=sin2x+52π 的图象的一条对称轴的方程是 A. x=−π2B. x=−π4C. x=π8D. x=54π6. 商场人流量被定义为每分钟通过人口的人数，五一某商场的人流量满足函数F t=50+ 4sin t2t≥0，则在下列哪个时间段内人流量是增加的 A. 0,5B. 5,10C. 10,15D. 15,207. 函数y=sin x 的图象是 A. B.C. D.8. 用“五点法”，作y=sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 A. 0，π2，π，32π，2π B. 0，π4，π2，34π，πC. 0，π，2π，3π，4πD. 0，π6，π3，π2，32π9. 函数y=sin x的图象 A. 关于x轴对称B. 关于原点对称C. 关于y轴对称D. 不具有对称性10. 设函数f x=|sin x+π3|x∈Z，则f x A. 在区间23π,76π 上是增函数B. 在区间 −π,−π2上是减函数C. 在区间π8,π4上是增函数D. 在区间π3,5π6上是减函数11. 函数f x=sinωx+φ的图象（部分）如图所示，则ω和φ的取值是 A. ω=1，φ=π3B. ω=1，φ=−π3C. ω=12，φ=π6D. ω=12，φ=−π312. 在△ABC中，“A>30∘”是“sin A>12”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件13. 函数y=sin x与y=tan x的图象在 −π2,π2上的交点有 A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个14. 函数y=1+sin x，x∈0,2π的图象与直线y=32的交点个数为 A. 1B. 2C. 3D. 015. 方程sin x−2π=lg x的实数根的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 无穷多16. 函数f x=A sinωx+φ A>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则将y=f x的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为 A. y=sin2xB. y=cos2xC. y=sin2x+π3D. y=sin2x−π617. 函数y=sin x cos x+3cos2x−3的图象的一个对称中心是 A. 2π3,−32B. 5π6,−32C. −2π3,32D. π3,−318. 电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=A sin wt+φ A>0,w>0,0<φ<π2的图象如图所示，则当t=1100秒时，电流强度是 A. −5安B. 5安C. 53安D. 10安19. 函数f x=A sinωx+φ A>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则ω,φ的值分别为 A. 1,π6B. 2,π4C. 2,π3D. 2,π620. 设曲线y=sin x上任一点x,y处切线斜率为g x，则函数y=x2g x的部分图象可以为A. B.C. D.21. 已知函数f x=x, x ≤1,sinπ2x, x >1,则下列结论正确的是 A. ∃x0∈R,f−x0≠−f x0B. ∀x∈R,f−x≠f xC. 函数f x在 −π2,π2上单调递增D. 函数f x的值域是−1,122. 已知ω>0，0<φ<π，直线x=π4和x=5π4是函数f x=sinωx+φ的图象的两条相邻的对称轴，则φ= A. π4B. π3C. π2D. 3π423. 函数y=1x−1的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象所有交点的横坐标之和等于 A. 2B. 4C. 6D. 824. 已知函数f x=sinπx和函数g x=cosπx在区间−1,2上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是 A. 22B. 324C. 2D. 52425. 函数y=tan x+sin x− tan x−sin x在区间π2,3π2内的图象是 A. B.C. D.26. 函数y=A sinωx+φ（A>0，ω>0，0<φ<π）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为 A. y=3sinπ4x+π4B. y=3sinπ4x+3π4C. y=3sinπ2x+π4D. y=3sinπ2x+3π427. 如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f l的图象大致是 A. B.C. D.28. 电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=A sinωx+φ（A>0，ω>0，0<φ<π2）的图象如图所示，则当t=1100秒时，电流强度是 A. −5 AB. 5 AC. 5D. 10 A29. 已知函数y=A sinωx+φ+b的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，φ<π2，则正确的是 A. y=4sin2x+π3+2 B. y=2sin x+π6+2C. y=2sin2x+π3+2 D. y=2sin2x+π6+230. y=A sinωx+φ+b的图象如图所示，则它的解析式是 ．A. y=32sin12x+1 B. y=12sin12x+1 C. y=12sin2x+1 D. y=32sin2x+131. 已知函数f x=sin2x+φ0<φ<π2的图象的一个对称中心为3π8,0，则函数f x的单调递减区间是 A. 2kπ−3π8,2kπ+π8k∈ZB. 2kπ+π8,2kπ+5π8k∈ZC. kπ−3π8,kπ+π8k∈ZD. kπ+π8,kπ+5π8k∈Z32. 若0<x<π2，则2x与πsin x的大小关系是 A. 2x>πsin xB. 2x<πsin xC. 2x=πsin xD. 与x的取值有关33. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点．角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f x，则y=f x在0,π的图象大致为 A. B.C. D.34. 在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sin ax的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是 A. B.C. D.35. 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P02,−2，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为 A. B.C. D.36. 方程sin x=lg x的解的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 437. 函数y=tan x+sin x− tan x−sin x在区间π2,3π2内的图象是 A. B.C. D.38. 已知函数f x=A sinωx+φA>0,ω>0，其部分图象如图所示，点P，Q分别为图象上相邻的最高点与最低点，R是图象与x轴的交点，若P点的横坐标为13，f13=3，PR⊥QR，则函数f x的解析式可以是 A. f x=3sinπ2x+π3B. f x=3sinπ2x−π6C. f x=2π3x+5π18D. f x=3sin πx+π639. 在区间0,π上随机取—个数，则事件“tan x⋅cos x≥12”发生的概率为 A. 12B. 34C. 13D. 2340. 设x1,x2∈0,π2，且x1≠x2，下列不等式中成立的是 ①12sin x1+sin x2>sin x1+x22；②12cos x1+cos x2>cos x1+x22；③12tan x1+tan x2>tan x1+x22；④121tan x1+1tan x2>1tan x1+x2．A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③二、填空题（共40小题；共200分）41. “五点法”画图画正弦函数y=sin x，x∈0,2π的图象，五个关键点是；画余弦函数y=cos x，x∈0,2π的图象，五个关键点是．42. 正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x=sin x+π2，要得到y=cos x的图象，只需把y=sin x的图象向平移π2个单位长度即可．的图象的一条对称轴方程是．43. 函数y=3sin2x+π644. 定义在区间0,5π上的函数y=2sin x的图象与y=cos x的图象的交点个数为．45. 定义在区间0,3π上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是．46. 函数y=sin x,x∈R的图象向右平移π个单位后所得图象对应的函数解析式是．2，则α=；（2）若sinα>cosα，则α的取值范围47. 已知a∈0,π，（1）若cosα=12是．48. 若函数f x的定义域为−1,0，则函数f sin x的定义域是．49. 正弦曲线、余弦曲线正弦函数y＝sin x x∈R和余弦函数y＝cos x x∈R的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线．分别作出它们的图象 .50. 设0≤x≤2π，且cos x−sin x=sin x−cos x，则x的取值范围为．51. 函数y=A sinωx+φ A、ω、φ为常数,A>0,ω>0在闭区间−π,0上的图象如图所示，则ω=．52. 函数f x=A sinωx+φA>0,ω>0,φ<π的部分图象如图所示，则f x=．x∈R，有下列命题53. 关于f x=4sin2x+π3①由f x1=f x2=0可得x1−x2是π的整数倍；；②y=f x的表达式可改写成y=4cos2x−π6,0对称；③y=f x图象关于 −π6对称．④y=f x图象关于x=−π6其中正确命题的序号为（将你认为正确的都填上）．54. 已知函数y=sinωx+φω>0,−π≤φ<π的图象如下图所示，则φ=．55. 由函数y=2sin3xπ6≤x≤56π 与函数y=2x∈R的图象围成一个封闭图形，则这个封闭图形的面积为．56. 函数f x=A sinωx+φ A>0,π2<φ<π,0<ω<π 的部分图象如图所示，其中A、B两点间距离为5，则ω+φ=．57. 函数f x=3sin2x−π3的图象为C，①图象C关于直线x=1112π对称；②函数f x在区间 −π12,5π12内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C．以上三个论断中，正确论断的序号是．58. 设0≤x≤2π，且cos x−sin x=sin x−cos x，则x的取值范围是．59. 对于函数f x=sin x,sin x≥cos x,cos x,sin x<cos x.给出下列四个命题：①该函数的图象关于x=2kπ+π4k∈Z对称；②当且仅当x=kπ+π2k∈Z时，该函数取得最大值1；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2k∈Z时，−22≤f x<0．其中正确的是．（填序号）60. 集合A=0,2π，B=α sinα<cosα，则A∩B= .61. 已知函数y=sinπx3在区间0,t上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是．62. 已知函数f x=12sin x+cos x−12sin x−cos x，则f x的值域是．63. 关于方程12x+sin x−1=0，给出下列四个命题：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在−∞,0内有且只有一个实数根；④若x0是方程的实数根，则x0>−1，其中所有正确命题的序号是．64. 如图所示，由函数f x=sin x与函数g x=cos x在区间0,3π2上的图象所围成的封闭图形的面积为．65. 函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象所有交点的横坐标之和等于．66. 方程lg x=sin x的解的个数为．67. 锐角三角形的内角分别是∠A，∠B，∠C，并且∠A>∠B．下面三个不等式成立的是．①sin A>sin B②cos A<cos B③sin A+sin B>cos A+cos B68. 函数y=sinπ4x+φ φ>0的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x 轴的交点，则tan∠APB=．69. 如图所示，点P是函数y=2sinωx+φx∈R,ω>0图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点，若PM⋅PN=0，则ω=．70. 设a n=1n sin nπ25，S n=a1+a2+⋯+a n，则在S1，S2，⋯，S100中，正数的个数是．71. 有下列五个命题：①函数y=sin4x−cos4x的最小正周期为π；②终边在y轴上的角的集合是αα=kπ2,k∈Z ；③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点；④把函数y=3sin2x+π3的图象向右平移π6个单位得到y=3sin2x的图象；⑤函数y=2sin x−π2在0,π上是减函数．其中，真命题的序号是．72. 定义在R上的函数f x，若对任意两个不相等的实数x1，x2都有x1f x1+x2f x2>x1f x2+x2f x1，则称函数f x为“H函数”．给出下列函数：①f x=x2；②f x=e x+1；③f x=2x−sin x；④f x=ln x ,x≠0,1,x=0.其中为“H函数”的是（填序号）．73. 函数y=lg cos x−sin x的定义域是．74. 设定义在区间0,π2上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．75. 给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2−x>0”的否定是“∀x∈R，x2−x≤0”；②“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真；③函数f x=x−sin x x∈R有3个零点；④对于任意实数x，有f−x=−f x，g−x=g x，且x>0时，fʹx>0，gʹx>0，则x<0时fʹx>0，gʹx<0．其中正确结论的序号是．（填上所有正确结论的序号）76. 已知函数f x＝sin x −kx x≥0,k∈R有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0，则x01+x02sin2x0＝．77. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=1与函数y=3sinπ2x0≤x≤10的图象所有交点的横坐标之和为．78. 函数f x=4cos2x2cosπ2−x −2sin x− ln x+1的零点个数为79. 方程x−1⋅sinπx=1在−1,3上有四个不同的根x1,x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=．80. 若整数m满足不等式x−12≤m<x+12（x∈R），则称m为x的“亲密整数”，记作x，即x=m，已知函数f x=x−x．给出以下四个命题：①函数y=f x（x∈R）是周期函数，且其最小正周期为1；②函数y=f x（x∈R）的图象关于点k,0（k∈Z）中心对称；③函数y=f x（x∈R）在 −12,12上单调递增；④方程f x=12sinπ⋅x在−2,2上共有7个不相等的实数根．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（共20小题；共260分）81. 作出函数y=3−2sin x，x≤∈0,2π的简图．82. 作出函数y=3sin2x+π3的图象．83. 用“五点法”作出函数y=sin2x+1在x∈0,π内的简图．84. 在同一坐标系中，用五点法画出下列函数的草图．（1）y=sin x，y=sin x+π3；（2）y=sin2x，y=sin2x+π3．85. 作出函数y=−sin x，x∈−π,π的简图，并回答下列问题：（1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①y>0；②y<0．（2）直线y=12与y=−sin x的图象有几个交点?86. 画出函数f x=2x−π4在一个周期内的图象．87. 已知电流I与时间t之间的关系式为I=A sinωt+φ．（1）如图是I=A sinωt+φ ω>0,φ<π2在一个周期内的图象，根据图中数据求其解析式；（2）如果t在任意一段1150秒的时间内，电流I=A sinωt+φ都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少?88. 已知函数f x=2sin2x−π4．（1）利用“五点法”，画出函数一个周期的图象；（2）当x∈ −π2,π8时，f x−a=0有解，求实数a的取值范围．89. 已知函数f x=A sinωx+φ,x∈R（其中A>0，ω>0，−π2<φ<π2），其部分图象如图所示．（1）求函数f x的解析式；（2）已知横坐标分别为−1，1，5的三点M，N，P都在函数f x的图象上，求NM与NP所成角的余弦值．90. 已知f x=2sin6k+13π+x +3cosπ+x+1x∈R,k∈Z．（1）化简f x；（2）用“五点作图法”画出f x在一个周期上的图象．91. 已知函数y=3sin12x−π4．（1）求此函数的振幅、周期和初相；（2）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象．（先列表再作图）1 2x−π4 x3sin12x−π492. 已知f x=−22sin2x+π4+2，求：（1）f x的最小正周期及对称轴方程；（2）f x的单调递增区间；（3）若方程f x−m+1=0在x∈0,π2上有解，求实数m的取值范围．93. 用五点法画出函数y=2sin2x+π3的图象，并指出函数的单调区间．94. 函数f x=A sin ωx+π6+1（A>0，ω>0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，（1）求函数f x的解析式；（2）设α∈0,π2，则fα2=2，求α的值．95. 已知函数f x=A sinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2，x∈R）的图象的一部分如图所示．求函数f x的解析式．96. 定义在R上的函数f x既是偶函数又是周期函数，f x的最小正周期是π，且当x∈0,π2时，f x=sin x．（1）当x∈−π,0时，求f x的解析式．（2）画出函数f x在−π,π上的函数简图．（3）求当f x≥12时，x取值范围．97. 已知函数f x=2cos x⋅sin x+π3−3sin2x+sin x⋅cos x．（1）当x∈0,π2时，求f x的值域；（2）用五点法在下图中作出y=f x在闭区间 −π6,5π6上的简图；（3）说明f x的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到?98. 设函数f x=a⋅b，其中向量a=2cos x,1，b=cos x,3sin2x ，x∈R．（1）若函数f x=1−，且x∈ −π3,π3，求x；（2）求函数y=f x的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y=f x在0,π上的图象．99. 已知曲线y=A sinωx+φA>0,ω>0上的一个最高点的坐标为π8,2，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点38π,0，若φ∈ −π2,π2．（1）试求这条曲线的函数表达式；（2）用“五点法”画出（1）中函数在0,π上的图象．100. 函数f x=sin x+2sin x，x∈0,2π的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．答案第一部分1. D2. A3. D4. C5. A【解析】由y=sin x，x∈R的图象的对称轴为直线x=kπ+π2k∈Z，得y=sin2x+52π 的图象的对称轴为直线2x+52π=kπ+π2k∈Z，即x=−k2π−πk∈Z，当k=1时，x=−π2．6. C 【解析】由2kπ−π2≤t2≤2kπ+π2，k∈Z，知函数F t的增区间为4kπ−π,4kπ+π，k∈Z．当k=1时，t∈3π,5π，而10,15⊆3π,5π．7. B 【解析】y=sin x =sin x,x≥0,sin−x,x<0.作出y=sin x 的简图知为B图．8. B 【解析】分别令2x=0,π2,π,32π,2π，可得x=0,π4,π2,34π,π．9. C 【解析】函数满足f−x=f x，故y=sin x的图象关于y轴对称．10. A【解析】函数f x=|sin x+π3|x∈Z的图象如图：由图象可知选A．11. C 【解析】因为14T=23π− −π3=π，所以T=4π，即2πω=4π，所以ω=12，故有y=sin12x+φ ，把点2π3,1代入得φ=π6．12. B 13. D 14. B 【解析】函数y=1+sin x，x∈0,2π的图象，由图可知交点有2个．15. C【解析】由sin x−2π=lg x可得方程sin x=lg x，其定义域为x>0，在同一坐标系中作出y=sin x和y=lg x的图象，由图象知sin x−2π=lg x有3个实根．16. D 【解析】提示：f x=sin2x+π6．17. B 【解析】y=12sin2x+321+cos2x−3=12sin2x+32cos2x−32=sin2x+π3−32，令2x+π3=kπ，k∈Z，则x=kπ2−π6，k∈Z．当k=2时，x=5π6，所以函数图象的一个对称中心为56π,−32．18. A 【解析】由函数图象知A=10，T2=4300−1300=1100，所以T=150=2πω，所以w=100π，所以I=10sin100πt+p，又因为点1300,10在函数图象上，所以10=10sin100π×1300+φ ，所以π3+φ=2kπ+π2k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π6，所以I=10sin100πt+π6．当t=1100时，I=10sin100π×1100+π6=−5．19. D 20. C【解析】由题意知g x=cos x，所以函数y=x2g x=x2cos x，显然该函数为偶函数，且过0,0点．21. D 22. A 【解析】因为直线x=π4和x=5π4是函数f x=sinωx+φ的图象的相邻的两条对称轴，所以5π4−π4=T2，即T2=π，T=2π，又T=2πω=2π，所以ω=1，所以f x=sin x+φ，因为直线x=π4是函数图象的对称轴，所以π4+φ=π2+kπk∈Z，所以φ=π4+kπk∈Z，因为0<φ<π，所以φ=π4，检验知此时直线x=5π4也为函数图象的对称轴．23. B 24. C 【解析】由sinπx=cosπx⇒tanπx=1，又x∈−1,2得x=−34或x=14或x=54，即A −34,−22，B14,22，C54,−22，故S△ABC=12×54− −34×22− −22=2．25. D26. A 【解析】由三角函数图象可知其最小正周期为8，由T=2πω=8得ω=π4，又A=3，所以y=3sinπ4x+φ ，将点1,3代入得π4+φ=π2+2kπ，因0<φ<π，所以φ=π4，所以y=3sinπ4x+π4．27. C 【解析】d=f l=2sin l2．28. A 29. D 30. C31. D 【解析】依题意得sin2×3π8+φ =0，则φ=π4，所以f x=sin2x+π4．由π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，得f x的单调递减区间是 kπ+π8,kπ+5π8k∈Z．32. B 【解析】在同一坐标平面内作出函数y=2x与函数y=πsin x的图象，如图所示．观察图象易知：当x=0时，2x=πsin x=0；当x=π2时，2x=πsin x=π．当x∈0<x<π2时，函数y=2x是直线段，而曲线y=πsin x是上凸的．所以2x<πsin x．33. B 【解析】以O为坐标原点，射线OA为x轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则 P cos x ,sin x ，M cos x ,0 ．故 M 到直线 OP 的距离为 f x = sin x ⋅cos x =12 sin2x ,x ∈ 0,π ．34. D 【解析】正弦函数的周期公式 T =2πω ，所以 y =sin ax 的最小正周期 T =2πa；对于A ：T >2π，故 a <1，因为 y =a x 的图象是减函数，故错； 对于B ：T <2π，故 a >1，而函数 y =a x 是增函数，故错； 对于C ：T =2π，故 a =1，所以 y =a x =1，故错； 对于D ：T >2π，故 a <1，所以 y =a x 是减函数，故对. 35. C【解析】因为 P 0 2,− 2 ，所以 ∠P 0Ox =π4．按逆时针转时间 t 后得 ∠POP 0=t ，∠POx =t −π4，此时 P 点纵坐标为 2sin t −π4 ，所以 d =2 sin t −π4 ．当 t =0 时，d = ，排除A 、D ；当 t =π4时，d =0，排除B ．36. C 【解析】画出函数 y =sin x 和 y =lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程 sin x =lg x 的解有 3 个． 37. D 【解析】提示：y =2tan x ,π2<x ≤π,2sin x ,π<x <3π2.38. A 【解析】由已知可得 A = 3， 设其周期为 T ，则：P 13, 3 ，R 13+3T 4,0 ，Q 13+12T ,− 3 ，由于 PR ⊥QR ，可得：PR 2+RQ 2=PQ 2，可得： 13+3T 4−13 2+ 0− 3 2+ 13+12T −13−3T 42+ − 3−0 2= 13+12T −13 2+ − 3− 3 2， 整理可得：T 2=16，解得：T =4，ω=2πT=π2，由于 f 13 = 3，可得： 3sin π2×13+φ = 3，所以，φ+π6=2kπ+π2，k ∈Z ，解得：φ=2kπ+π3，k ∈Z ，所以，当 k =0 时，φ=π3，函数 f x 的解析式是 f x = 3sin π2x +π3 ．39. D 【解析】tan x⋅cos x=sin x≥12，所以x∈π6,π2或π2,56π ，所以P=23．40. B【解析】设点A x1,y1，点B x2,y2，由于函数y=sin x的图象在0,π2上是上凸型的，而12sin x1+sin x2表示线段AB中点的纵坐标，故有12sin x1+sin x2<sin x1+x22，故①不正确；由于函数y=cos x的图象在0,π2上是上凸型的，12cos x1+cos x2表示线段AB中点的纵坐标，故有1 2cos x1+cos x2<cos x1+x22，故②不正确；由于函数y=tan x的图象在0,π2上是上凹型的，1 2tan x1+tan x2表示线段AB中点的纵坐标，故有12tan x1+tan x2>tan x1+x22，故③正确；由于函数y=1tan x 的图象在0,π2上是上凹型的，故有121tan x1+1tan x2>1tan x1+x22，故④正确．第二部分41. 0,0，π2,1，π,0，32π,−1，2π,0，0,1，π2,0，π,−1，32π,0，2π,142. 左43. x=π644. 545. 7【解析】画出两个函数的图象，经观察共有7个交点．46. y=−cos x47. π3，π4,π48. 2kπ−π,2kπ−π2∪2kπ−π2,2kπ ，k∈Z49.50. π4,5π4【解析】由题意知sin x−cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y=sin x,x∈0,2π与y=cos x,x∈0,2π的图象，如图所示：观察图象知x∈π4,5π4．51. 352. 2sin2x−π353. ②③【解析】对于①，由f x=0，可得2x+π3=kπk∈Z．所以x=k2π−π6，所以x1−x2可以等于π2，不一定是π的整数倍．所以①错；对于②，f x=4sin2x+π3利用公式得：f x=4cosπ2−2x+π3=4cos2x−π6．所以②对；对于③，f x=4sin2x+π3的对称中心满足2x+π3=kπ，所以x=k2π−π6，所以 −π6,0是函数y=f x的一个对称中心．所以③对；对于④，函数y=f x的对称轴满足2x+π3=π2+kπ，所以x=π12+kπ2．所以④错．54. 9π10【解析】由图象知函数y=sinωx+φ的周期为22π−3π4=5π2，2πω=5π2，所以ω=45．因为当x=34π时，y有最小值−1，所以45×3π4+φ=2kπ−π2k∈Z．因为−π≤φ<π，所以φ=9π10．55. 43π【解析】函数y=2sin3xπ6≤x≤5π6与函数y=2的图象如图所示．根据对称性知所围成的封闭图象的面积等价于一个矩形面积S3=S1+S2．所以封闭图形面积S=56π−π6×2=43π．56. 7π6 57. ①②【解析】①f11π12=3sin116π−π3=3sin32π=−3，所以x=1112π为对称轴；②由−π12<x<5π12⇒−π2<2x−π3<π2，由于函数y=3sin x在 −π2,π2内单调递增，故函数f x在−π12,5π12内单调递增；③因为f x=3sin2 x−π6，所以由y=3sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到图象C．58. π4,5π459. ①④【解析】f x=max sin x,cos x，在同一坐标系中画出y=sin x与y=cos x的图象，易知f x的图象为实线所表示的曲线．由曲线关于x=2kπ+π4k∈Z对称，故①对；当x=2kπk∈Z或x=2kπ+π2k∈Z时，f x max=1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲线易知，当2kπ+π<x<2kπ+3π2k∈Z时，−22≤f x<0，反之也成立，故④对．60. 0,π4∪54π,2π【解析】提示：如图，因为x∈0,2π，所以sin x<cos x的解集为0,π4和54π,2π .61. 8【解析】T =6，则 5T4≤t ， 所以 t ≥152，所以 t min =8．62. −1,22【解析】f x =12 sin x +cos x −12 sin x −cos x = cos x sin x >cos x ,cos x sin x <cos x .如图，画出函数 f x 的图象（实线），可得函数的最小值为 −1，最大值为 22，故值域为 −1, 22． 63. ②③④【解析】由方程 12 x +sin x −1=0，得： 12 x −1=−sin x ，根据函数 y = 12 x−1 与函数 y =−sin x 的图象交点情况，可得 ②③④正确. 64. 2 2【解析】易得两函数图象的交点的横坐标分别为 π4，5π4，所以封闭图形的面积为 ∫π5π sin x −cos x d x =−cos x −sin xπ5π=2 2．65. 8【解析】函数 y =11−x＝−1x−1和 y ＝2sin πx 的图象有公共的对称中心 1,0 ，画出二者图象如图所示，易知y =11−x 与 y =2sin πx −2≤x ≤4 的图象共有 8 个交点，不妨设其横坐标为 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8，且 x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得 x 1+x 8=x 2+x 7=x 3+x 6=x 4＋x 5=2 ，所以 x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8．66. 3【解析】分别作出函数y=lg x和y=sin x的图象．其中，当0<x≤10时，lg x≤1，sin x≤1．由图象可以看出，函数y=lg x与y=sin x的图象有且仅有3个交点，故方程lg x=sin x的解的个数为3．67. ①②③【解析】∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B故①成立．函数y=cos x在区间0,π上是减函数．因为∠A>∠B所以cos A<cos B，故②成立．在锐角三角形中，因为∠A+∠B>π2，所以∠A>π2−∠B，则有sin A>sinπ2−B ，即sin A>cos B，同理sin B>cos A，故③成立．68. −81169. π470. 10071. ①③④72. ②③【解析】x1f x1+x2f x2>x1f x2+x2f x1⇔x1−x2f x1−f x2>0⇔f x为R上的增函数．①中的函数显然不是R上的增函数；②中的函数是R上的增函数；③中函数的导数fʹx=2−cos x>0，故③中的函数为R上的增函数；④中的函数不是R上的增函数．73. 2kπ−3π4,2kπ+π4k∈Z【解析】由cos x−sin x>0，得cos x>sin x．根据数形结合知2kπ−3π4<x<2kπ+π4k∈Z．74. 23【解析】由y=6cos x,y=5tan x,消去y得6cos x=5tan x．整理得6cos2x=5sin x，6sin2x+5sin x−6=0，3sin x−22sin x+3=0，所以sin x=23或sin x=−32舍去．点P2的纵坐标y2=23，所以P1P2=23．75. ①④【解析】提示：②错误，考虑m=0的情况；③错误，该函数只有一个零点．76. 12【解析】结合函数y=sin x与y=kx的图象，结合图象可知，x0∈π,2π，此时，y0=−sin x0,y′=−cos x，故−sin x0⋅x0=−cos x0，故x0=sin x0cos x0，故x01+x02sin2x0=sin x0cos x01+sin2x0cos2x0sin2x0 =sin x0cos x0sin2x0=177. 30【解析】作出函数y=3sinπ2x0≤x≤10及y=1的图象（如图），则它们有6个交点．其中点A，B关于直线x=1对称，点C，D关于直线x=5对称，点E，F关于直线x=9对称，故所有交点的横坐标之和为2+10+18=30．78. 2【解析】f x=21+cos x sin x−2sin x− ln x+1=sin2x− ln x+1，x>−1，函数f x的零点个数即为函数y=sin2x与y=ln x+1x>−1的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f x有两个零点．79. 480. ①④【解析】当−12<x≤12时，满足不等式x−12≤m<x+12（x∈R）的“亲密整数”m=0，当12<x≤32时，满足不等式x−12≤m<x+12（x∈R）的“亲密整数”m=1，⋯⋯归纳得出：x=m表示对x进行四舍五入后的整数，从而作出函数f x=x−x的图象，是一些左开右闭的线段组成，如图：由图象可得：①函数 y =f x ，x ∈R 是周期函数，且其最小正周期为 1，所以①正确； ②函数 y =f x ，x ∈R 的图象不关于点 k ,0 ，k ∈Z 中心对称，故②不正确；③函数 y =f x ，x ∈R 在 −12,12 上不是单调递增，因为 f −12 =1，f 12 =1，故③错误；④方程 f x =12sin π⋅x 在 −2,2 上共有 7 个不相等的实数根，所以④正确． 第三部分 81. 列表：x 0π2π32π2πsin x010−103−2sin x31353描点、连线．82. 1．五点法令 2x +π3 分别为 0，π2，π，3π2，2π，则 x 应取 −π6，π12，π3，7π12，5π6，所对应的五点是函数 y =3sin 2x +π3 ，x ∈ −π6,5π6的图象上起关键作用的点．列表：x −π6π12π37π125π62x +π30π2π3π22π3sin 2x +π33−3描点连线：利用函数的周期性，可以把上述简图向左右扩展，就得到 y =3sin 2x +π3 的简图．2．平移、伸缩法法一： x→x+π3→2x+π3y=sin x的图象→向左平移π3个单位y=sin x+π3的图象→[纵坐标不变]横坐标缩短到原来的12y=sin2x+π3的图象→[纵坐标伸长到原来的3倍]横坐标不变y=3sin2x+π3的图象.法二： x→2x→2 x+π6=2x+π3y=sin x的图象→[纵坐标不变]横坐标缩短到原来的1 2y=sin2x的图象→向左平移π6个单位y=sin2 x+π6=sin2x+π3的图象→[纵坐标伸长到原来的3倍]横坐标不变y=3sin2x+π3的图象.83. 若x∈0,π，则2x∈0,2π，令2x分别等于0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x值，再列表、画图．列表如下：x0ππ3ππ2x0ππ3π2πsin2x010−10sin2x+112101描点、连线，如图所示：84. （1）x0π2π3π22πy010−10x+π3π2π3π22πx−ππ2π7π5πy010−10（2） 2xπ2π3π22πxπ4π23π4πy01−12x +π0ππ3π2πx −π6π12π37π125π6y 010−1085. （1） 利用“五点法”作图．根据图象可知图象在 x 轴上方的部分 y >0 ，在 x 轴下方的部分 y <0 ，所以当 x ∈ −π,0 时，y >0；当 x ∈ 0,π 时，y <0．（2） 画出直线 y =12，可知有两个交点．86. （1）列表如下：x π838π58π78π98π2x −π40π2π32π2πf x0 20− 20（2）描点、连线如图．87. （1） 由图可知，A =300，设 t 1=−1900，t 2=1180，则 T =2 t 2−t 1 =2× 1180+1900 =175， 所以 ω=2πT =150π，又当 t =1180 时，I =0，即 sin 150π⋅1180+φ =0，而 φ <π2， 所以 φ=π6，故所求的解析式为 I =300sin 150πt +π6 ． （2） 依题意知，T ≤1150，即 2πω≤1150 ω>0 ，所以 ω≥300π>942 ω∈N ∗ ， 所以 ω 的最小正整数值为 943． 88. （1） 按五个关键点列表如下：X =2x −π40π2π3π22πxπ3π5π7π9πf x = 2sin 2x −π2− 2描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．（2） 因为 −π2≤x ≤π8， 所以 −π≤2x ≤π4， 所以 −5π4≤2x −π4≤0，所以 −1≤sin 2x −π4 ≤22， 所以 − 2≤ 2sin 2x −π4 ≤1．f x −a =0 有解，即 a =f x 有解，故 a ∈ − 2,1 ．89. （1）由图可知，A=1，最小正周期T=4×2=8，所以T=2πω=8，ω=π4．由图象可知f1=sinπ4+φ =1，又−π2<φ<π2，所以−π4<π4+φ<3π4所以π4+φ=π2，φ=π4．所以f x=sinπ4x+1．（2）因为f−1=sinπ4−1+1=0，f1=sinπ41+1=1，f5=sinπ45+1=−1，所以M−1,0，N1,1，P5,−1，NM=−2,−1，NP=4,−2，NM⋅NP=−6，NM=5，NP=20=25，则cos∠MNP=NM⋅NPNM NP =5×25=−35．90. （1）f x=2sin2kπ+π3+x −3cos x+1=2sinπ3+x −3cos x+1=2sinπ3cos x+2cosπ3sin x−3cos x+1 =sin x+1.（2）列表：x0π2π3π22πsin x010−10 f x1210191. （1）周期T=2πω=4π，振幅A=3，初相是−π4．（2）列表：x π3π5π7π9π1 2x−π4π2π32π2π3sin 12x−π4030−30描点、连线，如图所示：92. （1）T=2πw =2π2=π，令2x+π4=π2+kπk∈Z，解得x=π8+kπ2k∈Z，所以函数f x对称轴方程为x=π8+kπ2k∈Z．（2）因为f x=−22sin2x+π4+2，所以函数f x的单调增区间为函数y=sin2x+π4的单调减区间，令π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπk∈Z，所以π8+kπ≤x≤5π8+kπk∈Z，所以函数f x的单调增区间为π8+kπ,5π8+kπ k∈Z．（3）方程f x−m+1=0在x∈0,π2上有解，等价于两个函数y=f x与y=m−1的图象有交点．因为x∈0,π2所以2x+π4∈π4,5π4，所以−22≤sin2x+π4≤1，即得2−22≤f x≤52，所以2−22≤m−1≤52所以m的取值范围为3−22,72．93. （1）列表：x−π6π12π37π125π62x+π3π2π3π22πy020−20（2）描点．（3）用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示为该函数在一个周期内的图象，然后将图象左右平移（每次π个单位长度）即可得到该函数在定义域R内的图象（所作图象略）．可见在一个周期内，函数在π12,7π12上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的递减区间为 kπ+π12,kπ+7π12k∈Z．同理，递增区间为 kπ−512π,kπ+π12k∈Z．94. （1）因为函数f x的最大值为3，所以A+1=3，即A=2，因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T=π，所以ω=2，故函数f x的解析式为y=2sin2x−π6+1．（2）因为fα2=2sin α−π6+1=2，即sin α−π6=12，因为0<α<π2，所以−π6<α−π6<π3，所以α−π6=π6，故a=π3．95. 题中图象可知A=2，T=8．因为T=2πω=8，所以ω=π4，f x=2sinπ4x+φ ．又图象经过点1,2，所以2sinπ4+φ =2，即sinπ4+φ =1．因为φ<π2，所以φ=π4，所以f x=2sinπ4x+π4．96. （1）∵f x是偶函数，所以f−x=f x，而当x∈0,π2时，f x=sin x，∴当x∈ −π2,0时，f x=f−x=sin−x=sin x．又当x∈ −π,−π2时，x+π∈0,π2，且f x的周期为π，∴f x=fπ+x=sinπ+x=−sin x．∴当x∈−π,0时，f x=−sin x．（2）如图．（3）∵f x的最小正周期为π，∴先在−π,0上来研究f x≥12，即−sin x≥12，∴sin x≤−12，∴−5π6≤x≤−π6．由周期性知，当x∈ kπ−5π6,kπ−π6，k∈Z时，f x≥12．97. （1）f x=2cos x⋅sin x+π3−3sin2x+sin x cos x=2cos x sin x cosπ3+cos x sinπ3−3⋅sin2x+sin x cos x =2sin x cos x+3cos2x=2sin2x+π3.因为x∈0,π2，所以π3≤2x+π3≤4π3，−32≤sin2x+π3≤1，所以当x∈0,π2时，f x的值域为 −3,2．（2）（五点法）由T=2π2，得T=π，列表：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\x & -\dfrac{\mathrm \pi}{ 6} & \dfrac{\mathrm \pi}{ 12} &\dfrac{\mathrm \pi}{ 3} & \dfrac{7 \mathrm \pi}{ 12} & \dfrac{5 \mathrm \pi}{ 6} \\ \hline\\2x+\dfrac{\mathrm \pi}{ 3} & 0 & \dfrac{\mathrm \pi}{ 2} & \mathrm \pi & \dfrac{3 \mathrm \pi}{ 2} & 2 \mathrm \pi \\ \hline \\2 \sin \left（2x+\dfrac{\mathrm \pi}{ 3}\right） & 0 & 2 & 0 & -2 & 0 \\ \hline\end{array} \]图象如图：（3）可由y=sin x的图象先向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．98. （1）依题设得f x=2cos2x+3sin2x=1+cos2x+3sin2x=2sin2x+π6+1．由2sin2x+π6+1=1−3，得sin2x+π6=−32．因为−π3≤x≤π3，所以−π2≤2x+π6≤5π6，所以2x+π6=−π3，即x=−π4．（2）令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ（k∈Z），即−π3+kπ≤x≤π6+kπ（k∈Z）得函数的单调增区间为 −π3+kπ,π6+kπ （k∈Z）．x0π6π3π22π35π6πy2320−10299. （1）由题意知A=2，T=4×38π−π8=π，ω=2πT=2，所以y=2sin2x+φ．又因为sinπ8×2+φ =1，所以π4+φ=2kπ+π2，k∈Z，所以φ=2kπ+π4，k∈Z，又因为φ∈ −π2,π2，所以φ=π4．所以 y = 2sin 2x +π4． （2） 列出 x ，y 的对应值表：x−π8π838π58π78π2x +π40π2π32π2πy20− 20 描点，连线，如图所示：100. f x =sin x +2 sin x = 3sin x ,x ∈ 0,π ,−sin x ,x ∈ π,2π ,图象如图：由上图可得，当 f x 的图象与直线 y =k 有且仅有两个不同的交点时，k 的取值范围是 1,3 ．。