图16-16 【解】只有水平振动。干扰力频率 ，动力系数 静位移 振幅 动 力 弯 矩 图 （图c） 。 【例16-12】 图 16-17a所示 体 系 各 柱 EI = 常 数 ，柱 高 均 为 ，。 求最大动力弯矩。
图16-17 【解】由图b可知，，则自 振 频 率。 动力系数，最 大 动 力 弯 矩 （见图c、d）。 【例16-13】 求 图 16-18a所示 体 系 的 自 振 频 率 和 主 振 型 ，并 作 出 振 型 图 。已 知 ：，EI = 常 数 。,源自(3) 代回动力平衡方程得，
【例16-6】 图 16-11a所示梁不计自重 ，求 自 振 频 率 。 图16-11
【解】由图（图b），求得柔 度 为： 。 所以， 【例16-7】 图 16-12a所示 单 跨 梁 不 计自重 ，杆 无 弯 曲 变 形 ，弹 性 支 座 刚 度 为 k ，求 自 振 频 率 。
同理第二频率为
振型：第一振为反对称振动，如图e所示；第二振为对称振动，如 图f所示；
【例 1 6 -1 9 】 图16-24所示梁的质量重，振动力最大值，干扰频 率，已知梁的，。试求两质点处的最大竖向位移。梁自重不计。
【解】用柔度法解。由图b、c、d计算系数及自由项如下： ，， ， 。 代入，稳态振动位移幅值方程 并乘以有 解得 ，
根柱的弯矩为
为该层的总剪力，等于该层以上水平外力（包括惯性力）的代数和；h 为该层柱高。于是各层柱端弯矩为 顶层： 中层： 第层：。如图b所示。对于横梁的杆端弯矩可由刚结点力矩平衡推求。
【例16-21】 用振型分解法重作例16-20。 【解】已知 频率为：， ， 振型为：，， 。 ，， 得广义质量 广义荷载
, 将动荷载和惯性力加于结构上，得动力弯矩幅值图如图e所示。
【例16-11】 图16-16a所 示 体 系 中 ，电 机 重 置 于 刚 性 横 梁 上 ，电 机 转 速 ，水 平 方 向 强 迫 力 为 ，已 知 柱 顶 侧 移 刚 度 ，自 振 频 率 。求 稳 态 振 动 的 振 幅 及 最 大 动 力 弯 矩 图 。
【例16-3】 图16-8a为刚性外伸梁，C处为弹性支座,其刚度系数 为，梁端点A、D处分别有和质量，端点D处装有阻尼器c，同时梁BD段受 有均布动荷载作用，试建立刚性梁的运动方程。
【解】 因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响 应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。
这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b所示，可以用铰B的运 动作为基本量，而其它一切位移均可利用它来表示。
图16-24
【例16-20】 图16-25a所示刚架各横梁刚度无穷大，试求各横梁处的 位移幅值和柱端弯矩幅值。已知，。；简谐荷载幅值，每分钟振动240 次。
图16-25 【解】用刚度法解。稳态振动位移幅值方程
有 ，。 ，。（单位t，即） 代入稳态振动位移幅值方程，有
解得 ，，
惯性力幅值为，即 本题横梁刚度为无穷大，每层只有两根柱且截面及高度相等，故每
图16-8 以顺时针向为正。则A点有位移和加速度；D点有位移和加速度及速 度；C点约束反力为。 由，有 将惯性力、阻尼力及约束反力代入上式，得
经整理，运动方程为
小结： 例16-2及例16-3讨论的是单自由度的一般情况下的运动方程的建 立。建立方程的思路是通过分析动力平衡或考虑变形协调。一般来说， 对于单自由度体系,求和的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都 可用同一方法求得。对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求 柔度系数容易些，但对超静定结构就要根据情况而定。
2． 集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的 定义及问题的具体情形确定。 【例16-2】 试用柔度法建立图16-7a所示单自由度体系，受均布动
荷载作用的运动方程。 【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非
质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为 方便。
体系的振动自由度数目既和体系的质点数目有关，又不完全取决于 质点数目，自由度还和体系的可能位移状态有关（如例题16-3），因此 要根据具体问题，按自由度定义分析确定。另一方面，自由度是确定质 点空间位置的独立坐标（位移分量）个数，它和结构超静定次数或独立 位移个数没有关系。
任何单自由度的振动问题，本质上都可抽象为质点、弹簧、阻尼器 体系。从实际结构到抽象模型的关键是求和（或）。
【例16-15】 求 图 16-20a所示 两 个 自 由 度 体 系 的 自 振 频 率 ， 。 图16-20
【解】用柔度法解。首先根据图c、d计算柔度系数，其位移计算公 式为
，这里 为弹支座处位移。 ，。 将它们代入频率方程，，解得
，。 【例16-16】求 图 16-21a所示 体 系 的 自 振 频 率 、振 型 及 广 义 质量。
图16-18 【解】用柔度法作。 1．为求柔度系数，首先绘出单位弯矩图(图b和c)。由位移计算公 式， 得
,， 2．求频率 将它们代入频率方程，即 展开上式并令 得 两个根为 ， 从而可得两个自振频率为 ， 3．求主振型
下面确定相应的两个主振型。求第一振型时，将代入上式，由于系 数行列式为零，所以两个方程线性相关，只有一个是独立的，可由其中 任何一式求得与的比值，比如由第一式可得
【例16-10】作图16-15a所示 结构的动 力 弯 矩 幅 值 图 。已 知 质 点 重 W = kN，扰 力 幅 值 P = kN，扰 力 频 率 ，梁 的 抗 弯 刚 度 EI = 4490kN·m。
【解】由图b列 幅 方 程 ，即
图16-15
，，因为
，
由图c求柔度系数，即，
由图d求柔度系数，即,
【解】在 W处 加 。 【例16- 8】 图 16-13a所示梁不计自 重 ，，求 自 振 圆频 率 。 【解】由于对称跨中无转角 ，求刚度。 ，则。
图16- 13 【例16-9】 试求图16-14a所示结构的自振频率。略去杆件自重及 阻尼影响。
图16-14
【解】图a为一次超静定结构，用力矩分配法作出单位弯矩图（图 b）。计算质点处的柔度系数（即位移计算），由图b（或图c）与图 d（虚拟状态），得 则，。
同理可求得第二振型为
两振型的规准化矩阵表达式为 ，
如图d、e所示。
【例16-14】 求 图16-19a所 示 体 系 的 频 率 方 程 。 图16-19
【解】本题为两个动力自由度（图b）。另外注意的是，水平向的振 动的质点是。于是由图b列 幅 值 方 程 ： ，， 由图c、d求柔度系数，其结果如下。
图16-10 【解】
( 1 ) 考 虑 质 点 m 平 衡 (图b) 有 ,
(2) 确 定 弹 性 力 恢 复 力 S , 弹 性 力 恢 复 力S 可 以 认 为 由 两 部 分 叠 加 而 成 。 第 一 部
分 为 使 m 产 生 位 移 施 加 的 力； 第 二 部 分 为 m 不 动 在 荷 载 作 用下产生的反力,即 ,
设图a质量任一时刻沿自由度方向的位移为y（向下为正）。把惯 性力、阻尼力及动荷载，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质 量处的位移y，由叠加原理（见图b、c、d及e），则
式中，，。将它们代入上式，并注意到，，得
经整理后可得
图16-7
式中，， 称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：直接作用于质量上所产生的 位移和实际动荷载引起的位移相等。图a的相当体系如图f所示。
图16-21
【解】由图b幅 值 方 程 为 ： 整理后得， 令上的系数行列为零，得频率方程，由该方程的两频率如下
振 型 1：，振 型 2：，见图c。 广 义 质 量 为：，
【例16-17】 求 图16-22a 示 桁 架 的 自 振 频 率 。各 杆 EA 为 常 数。
图16-22 【解】 将 振 动 分 为 竖 向 、水 平 分 量 ，求 ， ； ；
【例16-4】试 写 出 图 16-9a 质 点 m 的 运 动 微 分 方 程 ， 并 计 算各系数。
【解】
图16-9
(1) 列位移方程, (2) 计算系数项(图b) ， (3) 计算自由项(图c,d )
同理， (4) 将 系 数 代 入 位 移 方 程 ， 或
【例16-5】 试 按刚度法列 出 图 16-10a所示 刚 架 在 给 定 荷 载 作用下的动力平衡方程。
第十六章 结构动力学
【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形 ，确定图16-6 所示刚架的 动力自由度 。
架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点：
1． 在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持 不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所 有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。
【例16-18】 数。
试求图16-23a所示刚架的自振频率和主振型。EI=常
图16-23 【解】图a在不计轴向变形情况下，则与图b的振动是相同的。因 此图a可分成反对称（图c）和正对称（图d）的振动。 第一频率由单自由度频率计算公式 可知，则为反对称情况。由单 跨梁的位移计算公式，得柔度系数为 则第一频率为
刚度法和柔度法。它们都是根据达朗贝尔原理和所采用的阻尼理 论在体系上加惯性力和阻尼力。刚度法是考虑质量自由度方向的平衡； 柔度法是建立沿自由度方向位移的协调条件。
所谓结构振动自由度是指：确定体系全部质点位置所需的独立位移 分量的个数。 在例16-3中我们选取为独立位移分量，由此得两质点处的位移、加速度 及惯性力的表达式。
因系简谐荷载，又不计阻尼，由下式比较可得 ，则其解为
而 ，这里 所以 计算几何坐标 ， 即 以下计算同例题16-18，略。
【例16-22】 试用能量法求图16-26a所示梁具有均布质量的最低频
率，设以梁在自重下的弹性曲线为其振动形式。 图16-26
【解】均布自重（图b）下的弯矩方程（图c）为 有图乘法（图c、d）求挠度曲线方程： ，