2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9函数模型及函数的综合应用课时练理1.[xx·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )答案 A解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A.2．[xx·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( )A ．3人洗澡B ．4人洗澡C ．5人洗澡D ．6人洗澡答案 B解析 设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289升，可以供4人洗澡．3．[xx·枣强中学预测]若函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)有且只有一个零点，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 B解析 将函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)的零点问题转化为函数f 1(x )＝－a －|x |的图象与f 2(x )＝log 2(x 2＋2)的图象的交点问题．因为f 2(x )＝log 2(x 2＋2)在[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，因此其最低点为(0,1)，而函数f 1(x )＝－a －|x |也是偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，因此其最高点为(0，－a )，要满足题意，则－a ＝1，因此a ＝－1.4．[xx·冀州中学模拟]某购物网站在xx 年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，选C.5. [xx·武邑中学预测]已知函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a 的值为( )A.15B.25C.12 D ．1答案 A解析 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 易知点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q 在直线y ＝2x 上． 因为g ′(x )＝2x，且直线y ＝2x 的斜率为2，所以令2x＝2，解得x ＝1.又当x ＝1时，g (x )＝0，从而与直线y ＝2x 平行的曲线g (x )＝2ln x 的切线方程为y ＝2(x －1)，如图所示．因为直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 间的距离为222＋－12＝255. 故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫2552＝45. 又当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1,0)，所以由题意知x 0＝1，且2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.6. [xx·衡水二中一轮检测]函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3) 答案 C解析 由图象得，a ＋b ＋1＝0,0<b <1，∴－2<a <－1，∵g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在(0，＋∞)上是增函数，且g (1)＝a ＋2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋1－ln 2<0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.7．[xx·枣强中学猜题]某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放( )A.12h B.59hC．5 h D．10 h答案C解析设原污染物数量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝a e－5k，所以5k＝ln 10.设t h后污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥a e－tk，所以tk≥2ln 10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5 h才可以排放．8．[xx·枣强中学周测]如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客x之间的关系图象，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图(2)(3)所示．以下说法：①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．其中正确的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析 根据题意和题图(2)知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故②正确；由题图(3)知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确．故选C.9．[xx·衡水二中周测]有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________．答案 4.24元解析 ∵m ＝5.5，∴[5.5]＝6.代入函数解析式，得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24元．10．[xx·衡水二中模拟]对于任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)＝⎩⎨⎧x 1， x 1≥x 2，x 2， x 1<x 2.若f (x )＝x 2－2，g (x )＝－x ，则max(f (x )，g (x ))的最小值为________．答案 －1解析 f (x )－g (x )＝x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2，令x 2＋x －2≥0，解得x ≥1或x ≤－2.当－2<x <1时，x 2＋x －2<0，即f (x )<g (x )，所以max(f (x )，g (x ))＝⎩⎨⎧－x －2<x <1，x 2－2， x ≥1或x ≤－2，作出图象，如图，由图象可知函数的最小值为－1.11．[xx·冀州中学周测]某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．(保留一位小数，取1.15≈1.6)答案 6.6解析 第一年产值为1×(1＋10%)＝1.1，第二年产值为1×(1＋10%)2＝1.12，…，第五年的产值为1.15，故前5年总产值为1.1×1－1.151－1.1≈6.6.12. [xx·衡水中学期中]某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋50<x <6，14x ≥6，已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意可得，L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋20<x <6，11－x x ≥6，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k2－8＋2.解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2， 所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤28－x ＋188－x ＋18 ≤－228－x ·188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x )＝188－x ，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5. 所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．13．[xx·武邑中学一轮检测]随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意2a －x ≥34·2a ，∴0<x ≤a2.又140<2a <420，70<a <210.(1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值； (2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值；所以当70<a ≤140，公司应裁员a －70人，经济效益取到最大值；当140<a <210，公司应裁员a2人，经济效益取到最大值．能力组14.[xx·枣强中学仿真]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )A ．3000元B ．3800元C ．3818元D ．5600元答案 B解析 由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧0，x ≤8000.14x －800，800<x ≤4000，0.11x ，x >4000显然由0.14(x －800)＝420，可得x ＝3800.15．[xx·枣强中学期末]已知函数f (x )的定义域为R .若存在常数c >0，∀x ∈R ，有f (x ＋c )>f (x －c )，则称函数f (x )具有性质P .给出下列三个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝x 3－x . 其中，具有性质P 的函数的序号是________． 答案 ①③解析 ①若f (x )＝2x，则由f (x ＋c )>f (x －c )得2x ＋c>2x －c，即x ＋c >x －c ，所以c >0恒成立，所以①具有性质P .②若f (x )＝sin x ，则由f (x ＋c )>f (x －c )得sin(x ＋c )>sin(x －c )，整理得cos x sin c >0，所以不存在常数c >0，∀x ∈R ，有f (x ＋c )>f (x －c )成立，所以②不具有性质P .③若f (x )＝x 3－x ，则由f (x ＋c )>f (x －c )得(x ＋c )3－(x ＋c )>(x －c )3－(x －c )，整理得3x 2＋c 2>1，所以只要c >1，则f (x ＋c )>f (x －c )成立，所以③具有性质P ，所以具有性质P 的函数的序号是①③.16. [xx·冀州中学热身]已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 因为f (x )＝2x 在R 上是单调递增的，所以对于不相等的实数x 1，x 2，m ＝2 x 1－2 x 2x 1－x 2>0恒成立，①正确；因为g (x )＝x 2＋ax ，所以n ＝x 21＋ax 1－x 22＋ax 2x 1－x 2＝x 1＋x 2＋a ，正负不定，②错误；由m ＝n ，整理得f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)．令函数p (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ，则p ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令t (x )＝p ′(x )，则t ′(x )＝2x (ln 2)2－2，又t ′(1)＝2(ln 2)2－2<0，t ′(3)＝8(ln 2)2－2>0，从而存在x 0∈(1,3)，使得t ′(x 0)＝2x 0(ln 2)2－2＝0，于是p ′(x )有极小值p ′(x 0)＝2x 0ln 2－2x 0－a ＝2ln 2－2log 22ln 22－a ，所以存在a ＝－2log 22ln 22，使得p ′(x 0)＝2ln 2>0，此时p (x )在R 上单调递增，故不存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不满足题意，③错误；由m ＝－n ，得f ′(x )＝－g ′(x )，即－a ＝2x ln 2＋2x .设h (x )＝2x ln 2＋2x ，则h ′(x )＝2x (ln 2)2＋2>0，所以h (x )在R 上是单调递增的，且当x →＋∞时，h (x )→＋∞；当x →－∞时，h (x )→－∞，所以对于任意的a ，y ＝－a 与y ＝h (x )的图象一定有交点，④正确．17．[xx·枣强中学周测]如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．。