苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则A B =U ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 ．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b r r 满足a b a b ==+r r r r，则a r 与2a b -r r 夹角的余弦值为 ．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为 ．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 处，3tan ,44BAN BCN π∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有 两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地 下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、 4万元∕km ．（1）求,A B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为22，且右焦点F到左准线的距离为62．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．徐州市2017届高三期末调研测试 数学试题参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．}3,0,2{- 2 3．14 4．20 5．316．1 7 8．12-9．2 10．(,3]-∞- 11．8 1213．[7,13] 14．{20,16}--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=， ………………2分即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1cos 2A =， ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π3A =． ……………………………………………………6分（2）因为3cos 5B =，(0,π)B ∈，所以4sin 5B =，…………………8分 所以24sin 22sin cos 25B B B ==，27cos212sin 25B B =-=-， ……………10分所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=-2π2πsin 2cos cos2sin33B B =-………………………………12分2417()2252=-⨯--⨯2450=．…………………………………………………14分 16．（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥，又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥， 所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分 所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC ．………………………………………………………7分 （2）在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面I ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB ，………………………………………………………10分 又EA ⊂平面EAB ，所以EA BC ⊥，又EB EA ⊥，BC EB B =I ，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以⊥EA 平面EBC ．………………………………………………………14分17．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以43AD BD =， 在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==， 所以CD BD =． 则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =， 所以3CD =，4AD =，由勾股定理得，5AB =(km)．所以A ，B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=(万元)．………6分方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2θθ∈，其中0BAN θ=∠，在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3sin sin BD BP θθ==， 所以344tan AP DP θ=-=-．则总铺设费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=+⋅．………8分 设2cos ()sin f θθθ-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==， 令'()0f θ=，得πθ=，列表如下：所以()f θ的最小值为π()3f =所以方案②的总铺设费用最小为8+(万元)，此时4AP =． ……12分而820+，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A的正西方向(4-km 处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分18．（1）由题意，得2c a a c c ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得4,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩则b = 所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=． ………………………………………4分（2）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ，所以直线FN的方程为y x =-，则2(0,)N k -． (i)当直线PA 的斜率为12，即12k =时，(0,2)M ，(0,4)N -，F ，因为MF FN ⊥，所以圆心为(0,1)-，半径为3，所以FMN △的外接圆的方程为22(1)9x y ++=．……………………………8分(ii)联立22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222488(,)1212k kP k k-++，……………………10分 直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得，222848(,)1212k kQ k k --++，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以APQ △的面积211632()212122P Q kS OA y y k k k=⋅-=⨯=++≤14分当且仅当12k k=，即k ==”．所以APQ △的面积的最大值为．…………………………………………16分19．（1）当0a =时，2()2e x f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；当0a ≠时，()()2exf x x a =-，若0a >，则()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；若0a <，则()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． 综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{0}；当0a >时，()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；当0a <时，()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． ……………………4分（2）设2()()()ln 2e x h x f x g x x =-=-，则21e'()e e x x h x x x-=-=．所以函数()h x 的最小值为0h =，所以2()ln 02e x h x x =-≥，即()()f x g x ≥．…………………………………8分（3）假设存在常数a ，b 使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，即22ln 2ex ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立．而当x 21ln 2e 2x x ==，所以11222b ≥≥，所以122b =，则122b =-所以2212220(*)2e 2e 2x x ax b ax --=-+≥恒成立，①当0a ≤时，1202<，所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立；②当0a >时，则2214(2)0e 2a -≤，即2(20a ≤，所以a =，则12b =-．……………………………………………………12分令1()ln2x x ϕ=+，则'()x ϕ='()0x ϕ=，得x =当0x <<'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；当x >'()0x ϕ<，()x ϕ在)+∞上单调减．所以()x ϕ的最大值0ϕ=．所以1ln 02x x +≤恒成立．所以存在a ，12b =-符合题意．………………………………………16分 20．（1）当1n =时，121(1)(1)6(1)a a S ++=+，故25a =；当2n ≥时，11(1)(1)6(1)n n n a a S n --++=+-，所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n n n n n a a a a S n S n ）--+-++=+-+-， 即11(1)()6(1)n n n n a a a a +-+-=+，又0n a >，所以116n n a a +--=，………………………………………………3分 所以216(1)66k a a k k a -=+-=+-，25+6(1)61k a k k =-=-，*k N Î，故**33, ,,31, ,.n n a n n a n n n N N 为奇数为偶数ìï+-?ï=íï-?ïî…………………………………………5分（2）当n 为奇数时，1(32)(33)6n S n a n n =+-+-， 由(31)n S n n ≤+得，23321n n a n ≤+++恒成立， 令2332()1n n f n n ++=+，则2394(1)()0(2)(1)n n f n f n n n +++-=>++， 所以(1)4a f ≤=．……………………………………………………………8分当n 为偶数时，13(3+1)6n S n n a n =?-， 由(31)n S n n ≤+得，3(1)a n ≤+恒成立， 所以9a ≤．又10a a =>，所以实数a 的取值范围是(0,4]．……………………………10分（3）当2a =时，若n 为奇数，则31n a n =-，所以31n a n =-．解法1：令等比数列{}n b 的公比*4()m q m N =?，则1(1)154n m n n b b q --==?．设(1)k m n =-，因为214114443k k L --++++=， 所以(1)21545[3(1444)1]m n k L --??++++，213[5(144+4)2]1k L -=++++-，…………………………14分因为215(144+4)2k L -++++为正整数，所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*4()m q m N =?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分 解法2：设222231(3)k b a k k ≥==-，所以公比2315k q -=． 因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数，取*252()k m m N =+?，则31q m =+，故15(31)n n b m-=?， 由1315(31)n n k m --=?得，11[5(31)1]()3n n k m n N -*=++?， 而当2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，…………………………………………………14分 又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，所以n k 也都是正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*31()q m m N =+?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分。