一、选择题1．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶1D ．4∶3 2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n3．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．724．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C ，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（ ）①//BM 平面1A DE ；②三棱锥M DEC -22； ③5BM =④一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；A ．①②B ．①②③C ．①③D ．①②③④ 5．如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π6．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为（ ）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（ ）A ．aB ．2aC 2aD ．22a 8．如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V ，则求O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π 9．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4510．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E11．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．2π 12．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄a ，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件13．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥ B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥ 14．在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S ﹣EFG 中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面二、解答题15．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面梯形ABCD 中，//BC AD ，平面SAB ⊥平面ABCD ，SAB 是等边三角形，已知24AC AB ==，2225BC AD CD ===（1）求证：平面SAB ⊥平面SAC ；（2）求直线AD 与平面SAC 所成角的余弦值.16．如图所示的四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AE ＝EB ＝BC ＝2，AD ⊥平面ABE ，且CE 上的点F 满足BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ∥平面BFD ；（2）求三棱锥C -AEB 的体积.17．如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的体积及表面积．18．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.20．如图在Rt ABC △中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，且//MN BC ，AB BC =，2AM MB =.若将AMN 沿MN 折起到PMN 的位置，使得60PMB ∠=︒.（1）求证：平面PBN ⊥平面BCNM ；（2）在棱PC 上是否存在点G ，使得//GN 平面PBM ？说明理由.21．如图，AB 是圆O 的直径，CA 垂直圆O 所在的平面，D 是圆周上一点.（1）求证：平面ADC ⊥平面CDB ；（2）若1AC =，12AD =，BD AD =，求二面角A BC D --的余弦值. 22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 是CC 1上的中点，且BC ＝1，BB 1＝2.（1）证明：B 1E ⊥平面ABE ；（2）若三棱锥A －BEA 1的体积是3，求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 23．在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，且2AB AC ==，123AA =．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．24．在如图所示的圆锥中，OP 是圆锥的高，AB 是底面圆的直径，点C 是弧AB 的中点，E 是线段AC 的中点，D 是线段PB 的中点，且2PO =，1OB =．（1）试在PB 上确定一点F ，使得EF ∥面COD ，并说明理由；（2）求点A 到面COD 的距离．25．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 上一点，1A B 平面1AC D ．（1）求证：D 为BC 的中点;（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，求证：1AC D ∆为直角三角形.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果【详解】在Rt ABB '∆中，cos4AB AB AB π'=⋅= 在Rt ABA '∆中，1sin62AA AB AB π'=⋅=,在Rt AA B ''∆中，12A B AB ''==, 所以:2:1AB A B ''=故选C【点睛】本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础 2．D解析：D【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.3．C解析：C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED = 在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=.因为22108336x x +≥=，当且仅当x =y =92SED S ∆≥=. 故选：C.【点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.4．B解析：B【分析】①通过线面平行的判定定理判断正确性；②求得三棱锥M DEC -的体积最大值来判断正确性；③结合①判断正确性；④利用反证法判断正确性.【详解】①，设F 是AD 的中点，折叠过程中1F 是1A D 的中点，连接11,F M EF ，由于M 是1A C 的中点，所以1F M 是三角形1A CD 的中位线， 所以111//,2F M CD F M CD =.由于E 是AB 的中点，所以1//,2BE CD BE CD =. 所以11//,F M BE F M BE =，所以四边形1BEF M 是平行四边形，所以1//BM EF ，由于BM ⊄平面1A DE ，1EF ⊂平面1A DE ，所以//BM 平面1A DE ，所以①正确.②，由于M 是1A C 的中点，所以112M DEC A DEC V V --=. 在折叠过程中，三角形DEC 的面积为定值14242⨯⨯=， 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，1A 距离平面ABCD 的距离最大.过A 作AO DE ⊥，交DE 于O ，连接1A O ，则1AO DE ⊥. 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，由于平面1A DC平面ABCD DE =， 所以1A O ⊥平面ABCD .222222DE =+=，则1122222AE AD AE AD DE AO AO DE ⋅⋅=⋅⇒===， 则12AO =.所以三棱锥1A DEC -体积的最大值为1424233⨯⨯=， 所以三棱锥M DEC -体积的最大值为14222233⨯=.所以②正确. ③，由①知221415BM EF EF AE AF ===+=+=，所以③正确.④，由于22222,4,DE CE CD DE CE CD ===+=，所以DE CE ⊥.若1DE A C ⊥，1CE AC C ⋂=， 则DE ⊥平面1A CE ，则1DE A E ⊥，根据折叠前后图象的对应关系可知14DEA DEA π∠=∠=，与1DE A E ⊥矛盾，所以④错误.综上所述，正确的为①②③.故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、几何体体积、线线垂直等知识.5．C解析：C根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.6．D解析：D【分析】利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角．【详解】取1A A 的中点为E ，连接BE ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒.故选：D ．本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．7．D解析：D【分析】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，证明平面1//A BGE 平面1B HI ， 得到1//B F 面1A BE ，则F 落在线段HI 上，求出11222HI CD a == 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 1//A B EG ,则1A BEG 四点共面，11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选：D ．【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题. 8．D解析：D【分析】根据正四棱锥P ABCD -的体积公式，列出方程，求得2R =，再利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，设外接球O 的半径为R ，则,2OP OA R AB R ===，则正四棱锥P ABCD -的体积为21116(2)333V Sh R R ==⨯⨯=，解得2R =， 所以球O 的表面积为2244216S R πππ==⨯=．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。