统计学复习笔记第七章参数估计一、思考题1. 解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。

估计量也是随机变量。

如样本均值，样本比例、样本方差等。

根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

2. 简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。

（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。

对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

（3）—致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。

3. 怎样理解置信区间在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。

置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。

有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。

因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。

在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。

这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。

4. 解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。

也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95% （的区间）包含参数。

不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。

5. 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。

1. 估计总体均值时样本量n为其中:E22. 样本量n与置信水平1- a、总体方差•：、估计误差E之间的关系为与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。

二、练习题1. 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

1）样本均值的抽样标准差二x等于多少？2）在95%的置信水平下，估计误差是多少?解：1）已知尸5，n 二40，x = 25J = 5 /V40 〜0.79估计误差 E = 1.96 X 5-V40 〜1.552. 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

1）假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差2）在95%的置信水平下，求估计误差3）如果样本均值为120元，求总体均值□的95%的置信区间解：1）已知（r= 15，n 二49)X ? C JS = 15 + 49 = 2.14a估计误差 E = 1.96 X 15-V49 〜4.23) 已知x = 120v 置信区间为X士E其置信区间二120 士4.23. 从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到X=104560, 假定总体标准差(r= 85414,试构建总体均值□的95%的置信区间。

解：已知n =100, X=104560,卢85414,1-：= 95%，二 - -':，由于是正态总体，且总体标准差已知。

总体均值J在1-置信水平下的置信区间为10x 土电2石"0%46609士恢X 85414“ 100=105.36 — 3.92= 二湖翔葩刼6741.1444. 从总体中抽取一个n =100的简单随机样本，得到X=81, s=12。

要求：1) 构建□的90%的置信区间。

2) 构建□的95%的置信区间。

3) 构建□的99%的置信区间。

解：由于是正态总体，但总体标准差未知。

总体均值’在1「置信水平下的置信区间公式为牙+亍"石 81 士% X 12-V 100 = 81 士勾 X 1.21) 1“ = 90% % - 1.65其置信区间为81 士 1.982) 1- : = 95% , J 一其置信区间为81 士 2.3523) 1- « = 99% % -2.58其置信区间为81 士 3.0965. 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

1) X = 25，卢 3.5, n =60,置信水平为 95%2) X =119, s =23.89, n =75,置信水平为 98%3) X =3.149, s =0.974, n =32,置信水平为 90% 解：T X -Z-.②——或X - ••• 1) 1-：= 95% , 其置信区间为：25 ± 1.96 X 3.5-V 60=25 士 0.8852 ) 1- : = 98%，贝卩:=0.02, ： /2=0.01,1- ： /2=0.99,查标 准正态分布表，可知：亠二—2.33其置信区间为：119 士 2.33 X 23.89-V 75=119 士 6.345知25訂96Z ： 2-未知）3) 1- a = 90% 7讹匸 1.65其置信区间为:3.149 士 1.65 X 0.974 + 32士 0.2846. 利用下面的信息，构建总体均值 卩的置信区间：1) 总体服从正态分布，且已知 (r= 500 , n = 15 , x =8900,置信 水平为95%。

解： N=15，为小样本正态分布，但 (T 已知。

贝卩1-〉= 95%信水平为95%解：为大样本总体非正态分布，但。

已知。

则1-〉= 95%,信水平为90%。

解：为大样本总体非正态分布，且 c 未知，1-Q = 90%，锻"1.65。

其置信区间为：匚 8900士 1.65 X 500-V 35= (8761 9039) 4) 总体不服从正态分布， c 未知，n = 35 , x =8900, s =500，置 信水平为99%。

•••置信区间为： 8900士 1.96 X 500-V 15= (8646.73,6 9祜3.2 )= (101.44,109.28) 叡―U -乂。

其置信区间公式为 =d x "r =105.36_1.96 10252) 总体不服从正态分布，且已知 卢500 , n = 35 , x =8900,置二置信区间为： 8900士 1.96 X 500-V 35= (87339二处6.1 ) = 1101.44,109.28 乱―巳。

其置信区间公式为 10253) 总体不服从正态分布， c 未知，n = 35 , x =8900, s =500，置=3.149 = 105.36-1.96解：为大样本总体非正态分布，且。

未知，1" = 99% % " 2.58。

x + z * -其置信区间为：“」一8900士 2.58 X 500-V35=（8681.99118.1 ）7. 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）（略）。

求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%及=—解：先求样本均值：广=3.32_ 11 JzJ ___再求样本标准差：1牙土如手二置信区间公式：匚8. 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值分别为：10, 8, 12, 15, 6, 13, 5, 11。

求总体均值□的95%置信区间解：本题为一个小样本正态分布，。

未知。

疋=—先求样本均值：广=80宁8=10土忆一乔g 二］i-l __________再求样本标准差： 1 " ' = V84/7 = 3.4641于是，丄:的置信水平为1二的置信区间是已知1 .二,n = 8，贝卩二.丄，a /2=0.025，查自由度为If -n-1 = 7的一分布表得临界值 ■- 2.45所以，置信区间为：10士 2.45 X 3.4641 "79. 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离， 抽取了由16 个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离分别是：10, 3, 14, 8, 6, 9, 12, 11, 7, 5, 10, 15, 9, 16, 13, 2。

假设总体服从正态分 布，求职工上班从家里到单位平均距离的 95%的置信区间。

解：小样本正态分布，。

未知。

已知，n = 16,卜：：：11「」，则Q H.」,位=a /2=0.025，查自由度为n-1 = 15的：分布表得临界值-2.14样本均值 .■ =150/16=9.375于是，丄：的置信水平为1二的置信区间是9.375 士 2.14X 4.11 -V16再求样本标准差:V 253.75/154.11乞（爲10. 从一批零件是随机抽取36个，测得其平均长度是149・5,标准差是1・93。

1）求确定该种零件平均长度的95%的置信区间。

2）在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请解释。

解：1）这是一个大样本分布。

已知N=36, x= 149.5, S =1.93, 1-沪0.95,二I 」。

x + z & -其置信区间为：.J- 149.5± 1.96X 1.93 -V362）中心极限定理论证：如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量' 的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。

在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。

样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量■；'充分大的条件下，样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。

11. 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量如下：（略）已知食品包重服从正态分布，要求：1）确定该种食品平均重量的95%勺置信区间。

2）如果规定食品重量低于100克属于不合格，确定该批食品合格率的95%勺置信区间。

解：1)本题为一个大样本正态分布，。

未知。

已知N=50,^=100, 1-a=0.95,厂一一①每组组中值分别为97、99、101、103、105,即此50包样本平均值 f = ( 97+99+101 + 103+105 /5 = 101②样本标准差为：S — Y—---------1= V{( 97-101 ) 2 X2 +( 99-101 ) 2 X3 +( 101-101 )2X 34 +( 103-101 ) 2X 7+( 105-101 ) 2X 4}-( 50-1 ) ~ 1.666③其置信区间为：匚101± 1.96 X 1.666-V502 ) v 不合格包数(V 100克)为2+3=5包，5/50 = 10% (不合格率)，即P = 90%。