函数（矢量） F Fi 动力学由一组微分方程给出:

dX F ( X ), i 1, 2, L N dt

轨道（orbit，trajectory），流

自治系统: 动力学方程可以写成右边不显含时间 的一阶微分方程组


非自治系统：若右边显含时间(例：受驱系统) 在很多情况下，非自治系统可以由引入新的变 量(增加相空间


叉式分岔是一种超 临界点： c 0 临界分岔！ c ： x0 0 解稳定 c ： 两支解（对称）稳定。 x
0

反（逆）叉式分岔（inversed pitchfork） 特征方程： x x x 3


周期解

周期振荡：状态周而复始的变化 在相空间为围绕某一不稳定奇点的闭合曲线
准周期解（quasiperiodic）


准周期---拟周期：规则的非周期解 与周期解不同，系统存在多个不同频率，频率 之间相互不公度（比值为无理数！） 多个公度频率情况仍然为周期解，频率之间存 在锁频
混沌解

a11 det( A I ) a21 : aN 1

a12 : aN 2
...
a1N a2 N : 0
a22 ...
... aNN
即特征值的一元N次方程
a0 N a1 N 1 ... aN 1 aN 0

扰动演化的通解可以表示为
(t ) c0i (t ) c0i (0) exp(it )
•
•
定态（steady state）在相空间对应的代表点称 为定点、不动点（fixed point）、平稳点 （stationary point） 相空间的不动点处轨道无确定斜率
dxi / dx j (dxi / dt ) / (dx j / dt ) 0 / 0
•
故不动点亦称为奇点（singular point）或临界 点（critical point）




状态变量：完整描述系统的状态的所有的量 状态变量是随时间变化的，知道了任意时刻系 统的状态，我们就知道了系统的完整信息 系统任意一个状态变量的变化通常与其他变量 有密切依赖关系 如何实现上述描述的数学化？

建立状态的描述空间---相空间
X xi ，i 1,2,L , N



系统的任一状态都是相空间的一个点，反之未 必； 系统状态发生变化---在相空间中的系统容许点 之间的跃迁 系统状态的变化（演化）---轨道---动力学

不规则的非周期解---具有一定随机性 无法写出解析表达式 我们讨论的焦点 洛伦兹方程
& x ( y x) & y xz rx y & z xy bz
要有陆地！ 三、解的稳定性

非线性系统状态的稳定性有不同表述 稳定性随系统性质（一般是整体或拓扑性质）或 参数（具有的特征解及其数目）不同而不同 经常存在多稳特征，不同的稳定解在相空间形成 各自的吸引域（basins of attraction） 如何考察稳定性？ 对状态施以扰动，分析扰动对时间的变化 考察系统的拓扑性质（potential），了解全貌 Lyapunov稳定性，渐近稳定性 线性稳定性分析
i i


其中系数可以由初始条件决定。 参考态的稳定性取决于扰动是否随时间收敛， 即取决于上式的指数部分是否衰减，即Jacobi 矩阵本征值（实部）是否小于0 因此，稳定性要求对于所有本征值
Re(i ) 0, i 1, 2,..., N





本征值可能为正，也可能为负 本征值可能为实，也可能为复 本征值会随着系统参数变化而变化 故而系统解的稳定性也会变化（存在，不见 得稳定！） 临界点：系统从稳定定态到不稳定定态的转 变点 至少有一个本征值实部为零的点 临界点的数值，线性化矩阵的值十分重要

跨临界分岔（transcritical bifurcation） 特征方程： x x x2 临界点： c 0 c ： x0 0 解稳定 c ： x0 解稳定。 临界点两边都有两支解， 但稳定性交换（都是鞍结点）




叉式分岔（pitchfork bifurcation） 特征方程：
鞍-结分岔（saddle-node bifurcation，或切 分岔，tangent bifurcation，折叠分岔）

特征方程：
xx
2


临界点： c 0 c 时，系统无定态解； c 时，系统有两个实根： 稳定：
x0

不稳定： 0 x

线性稳定性分析与不动点分类

考虑动力系统
dX / dt F ( X ) F Fi i 1,2,L N

存在一个解 X 0 t ，该解称为参考态（解） 在t=0时考虑参考态附近的初始条件 X 0 0 (0) 分析初始的小偏离随时间的演化：

dX / dt dX 0 / dt d / dt F( X ) F( X0 )


动力（学）系统：A dynamic(al) system may be defined as a deterministic mathematical prescription for evolving the state of a system forward in time. 定义N维空间矢量 X xi ，i 1,2,L , N
我们通常所需要的： ① 长时间之后系统的解----渐近解（暂态有时很重 要，但多数时候需要略去） ② 系统不随时间变化的解---定态解 ③ 相对比较规则的解---周期解（有时不尽然，混沌）
•
定态解
•
所有状态变量对时间的导数都等于0的状态
dX F ( X ) 0, dt X {xi }, i 1, 2,L N
至此我们得到了非线性方程在参考态邻域的线性化 方程 上述方程对于不同参考态形式一样，但Jacobi矩 阵A的值不同
•

线性化方程很容易求解 基本解
& A
i (t ) i (0)exp(t )

将基本解带入方程得到齐次方程 i (0) Ai (0) 该方程有非平凡解（nontrivial）的条件是久期方程：

在参考态附近进行Taylor展开
dX 0 / dt d / dt F(X0 ) F ( X 0 ) (F / x j ) X 0 j o( 2 )
j

参考态是方程的解，红色部分抵消，略去高阶 项 di / dt (Fi / x j ) X 0 j aij j

离散时间动力系统 （映射/映像，map/mapping)

演化（轨道）： 提示：N维的连续时间系统通常可以通过 Poincare截面的方法约化为N-1维离散时间 映射系统

混沌：何时会出现？


系统相空间维数N需要多大？ 从动力系统演化方程来看，出现混沌运动需要满 足一定的条件。 微分自治系统： 相空间维数 N>2 映射系统： 取决于映射是否可逆 可逆映射： 不可逆映射：N=1就可能出现混沌！ 最终是否出现还取决于系统的非线性。
Duffing（达芬，杜芬）振子： 软弹簧Duffing振子：

硬弹簧Duffing振子：

Van de Pol振子： LC回路电子管振荡器（Van de Pol, 1928)


回路固有频率 可变阻尼：

Lorenz模型
& x ( y x) & y xz rx y & z xy bz
j j

写成矢量形式
& A
•
Jacobi矩阵
a11 a12 ... a1N a a22 ... a2 N A 21 : : : a N 1 a N 2 ... a NN
•
矩阵元
aij (DF )ij ( X 0 ) (Fi / x j ) X0
要有光体！ 四、解的失稳与转变：分岔




非线性系统可以具有不同的解（长时解） 不同的解对同一参数的稳定性是不同的，随着参数 变化，有的解会由稳定变为不稳定，有的解会由不 稳定变稳定，有的解会随参数变化出现（或消失） 动力系统在系统参数变化时发生的解的失稳与转变： 数学上称为分岔（bifurcation，分叉，分歧）， 物理上称为相变（phase transition），突变。 分岔点（相变点，岐点）称为临界点（critical point）。 分岔也意味着系统相空间拓扑性质发生突变，意味 着系统的结构稳定性（structural stability）发 生变化（结构不稳定）。 分岔发生的变化：解的类型，解的数目，性质等。



第五日，上帝说，"水要多多滋生有生命之物，要有雀鸟在 地面天空中飞翔。"水中生命，飞鸟，…… 第六日，上帝说："地要生出活物来；牲畜、昆虫、野兽各 从其类。""我要照着我的形象，按着我的样式造人，派他 们管理海里的鱼、空中的鸟、地上的牲畜和地上爬行的一 切昆虫。"上帝就照着自己的形象创造了人。 第七日，天地万物都造齐了，上帝完成了创世之功。在这 一天里，他歇息了，并赐福给第六天，圣化那一天为特别 的日子，因为他在那一天完成了创造，歇工休息。星期日 也成为人类休息的日子。

c 0 临界点： c ： x0 0 一支解，不稳定！ c ： 两支解（对称），不稳定！ x0 解，不稳定！ x0 0