正态曲线(normal curve)是一条高峰位于中央， 两侧完全对称，而且逐渐降低，两端在无穷远 处与底线相靠，但永远不与横轴相交的钟型曲 线。

正态曲线是有固定函数式的一条曲线。因为频 率的总和等于1，因此横轴上曲线下的总面积 为100％或1，其面积分布有一定的规律性。
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正态分布又称Gauss分布，是医学上 和生物界常见的分布形式。 是指变量值以均数为中心，左右两 侧完全对称，靠近均数两侧的频数 较多，而远离均数两侧的频数逐渐 减少。
e

x

( x )2 2 2
dx,
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图3-3 正态分布的概率密度函数与分布函数
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图3-4 正态分布的概率
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2.正态曲线下面积的分布规律
正态曲线 面积 68.27% 90.00% 95.00% 99.00%
1 1.64 1.96 2.58

z

e
z2 2
dz
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0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4 -3 -2 -1 0
f ((z) X)
z X
1
2
3
4
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0.5
f(X) (z)
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
-4
-3
-2
-1
0
z X
1
2
3
4
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（z)
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2.正态分布的概率密度函数
正态曲线所对应的函数表达式为：
( X )2
1 2 2 , f (X ) X e 2 f ( X ) 概率密度函数（probabil it y de n si ty fu n cti on ）
3.14159 ，e 2.71828 , 和 为两个参数.
z

x

标准正态分布的μ=0，=1，记为 N(0,1)
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经标准正态变量z变换：一般正态分布N ( , 2 )被转化为 标准正态分布N (0,1); 其中z 概率密度函数 : ( z ) 分布函数 : ( z )

x

,
1 2
e
z2 2
1 2
正态分布 面积或概率 68.27% μ±σ 90.00% μ±1.64σ 95.00% μ±1.96σ 99.00% μ±2.58σ
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3、标准正态分布表的使用
附表c1标准正态分布表p559
三、面积规律
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正态分布
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
1
不同 均数
2
3
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正态分布
不同标 准差
-3
-2
-1
0
1
2
3
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a. 尖峭峰 b. 正态峰 c. 平阔峰
2018/10/5 正态分布的特征来自三、正态曲线下面积分布规律
1.正态曲线下面积的意义： 表示该区间（x1，x2）包含的观察例 数占总例数的百分数或变量值落在 该区间的概率。
以f ( X )为纵坐标，X为横坐标，绘制曲线即为 正态曲线。 记为X ~ N ( , 2 ),
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二、正态分布的特征




正态分布以均数为中心（ χ=μ ），左右对称; 正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，正 态分布记作X~N(μ，σ2)， μ决定曲线在横轴 上的位置，σ决定曲线的形状。 正态曲线在横轴上方均数处最高(在χ=μ处取得 密度函数的最大值)，表现为钟型曲线 正态曲线下总面积为1，正态曲线下的面积分 布有一定规律。
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表 3-12 100 名女大学生血清总蛋白含量的实际分布与理论比较
血清总蛋白 范 围 含量（g/L） （%） （%） 实际人数 实际百分数 理论百分数
x 1s
x 1.96 s
69.9~77.7 66.2~81.4 63.7~83.9
70 94 99
70 94 99
Φ(z)
z 0
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0.025
0.025
－1.96
1.96
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2、标准正态曲线下面积分布规律
68.27%
95.00% 99.00% 0
-2.58
-1.96
-1
1
1.96
2.58
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x
z
正态曲线与标准正态曲线的面积分布规律
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标准正态分布 -1～1 -1.64～1.64 -1.96～1.96 -2.58～2.58
频数分布图示
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x1

x2
正态曲线下面积示意图
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如 果X ~ N ( , 2 ), 那 么X取 值 落 在 区 间 （ ，x )内 的 累 积 概 率, 即 为 正 态 曲 线 下 位 于 （ ，x )的 图 形 面 积 ， 记 做 F ( x )。 等于其概率密度函数 f ( X )在 到x上 的 积 分 ， 1 F ( x) P( X x) 2 F ( x )称 为 分 布 函 数 。
40
30
20
10
0 1.2290
1.2410
1.2530
1.2650
1.2770
图 体模“骨密度”测量值的分布接近正态分布示意图 （频率密度=频率/组距）
面积的意义
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正态分布曲线图示
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该曲线表现为中间高，两边低，左右对称，略 显钟形，类似于数学上的正态分布曲线。因而 这种分布也称为正态分布。
68.27 95.00 99.00
x 2.58 s
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四、标准正态分布
(standard normal distribution)

标准正态分布变换

标准正态分布曲线下面积的分布规律
标准正态分布表的使用

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1、标准正态分布变换

一般正态分布为一个分布族:N(μ,σ2)。 为 了应用方便，可以进行变量变换，正态分布 就变换为标准正态分布。
3.1 正态分布
正态分布的图形
正态分布的特征
正态曲线下面积分布的规律
标准正态分布
正态分布的应用
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一、 正态分布曲线
（normal distribution curve）
1.正态分布的图形
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频数分布逐渐接近正态分布示意图
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Frequency