第四章习题详解
1．下列数列a是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：
n
1)a n 1
1
ni
mi
；
2) a n
n
i
1；
2
3)a
i
n
n1；
n1
4)
ni
2 a n e；
1ni
a n e。

n
5)2
0,a1
2．证明：lim
n a
n
1
,
,
a
a1
1
不存在，a1,a1
3．判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：n
i
1)
；n
n1
n
i
2)
；ln n
n2
3)
65i
n
08
n；
4)
n
cos
02
n
in。

4．下列说法是否正确？为什么？
1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
1
2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
3)每一个在z连续的函数一定可以在z
0的邻域内展开成泰勒级数。

5．幂级数
n
c能否在z0收敛而在z3发散？
n z2
n0
6．求下列幂级数的收敛半径：
1)
n1
n
z
p
n
（p为正整数）；
2
n!
n
2)z
；
n
nn1
3) 1
n
n iz；
n0
4)
i
n
ez；
n
n1
5)
n1
i
n chz1；
n
nz
6)。

ln in
n1
7．如果
n
c n z的收敛半径为R，证明
n
Re的收敛半径R。

[提示：
c n z
n
n
Re c n zcz]
n
n0n0
8．证明：如果
c
n1
lim存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径
nc
n
n
c n z；
c
n1z
n1
n1
；
n1 nc n z。

2
9．设级数c收敛，而
n c发散，证明
n
n
c n z的收敛半径为1。

n0n0n0
10．如果级数
n
c n z在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收n0
敛。

11．把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径：
1)
11
3
z
；
2)
11
z
22
；
3)
2 cos z；
4)shz；
5)chz；
6)e
2
z sin；
2
z z
7)
z1 e；
8)
1 sin。

1z
12．求下列各函数在指定点z处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半
径：
1) z
z
1
1
，z1；
2)
z
z
1z2
，z2；
3
3) 1
2
z
，z1；
4)
1
43z
，z01i；
5)tgz；z；
4
6)arctgz；0
z。

13．为什么在区域zR内解析且在区间R,R取实数值的函数fz展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？
14．证明在fz
1
cos以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为z
z
c
1
2
n cos2coscos nd，n0,1,2,。

[提示：在公式4.4.8中，取C为z1，2
在此圆上设积分变量
i
e。

然后证明c n的积分的虚部等于零。

]
15．下列结论是否正确？
用长除法得
1z
z
zz
23
z z
4
z z111
1
23 1zzz
zz
因为0
1zz1
111234
所以21zzzz0
3
zzz
16．把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：
1)
z 2
1
1z2
，1z2；
4
1
2)，1z1，0z11；
2
z1z
1 3)，0z11，1z2；
z1z2
1
1z
4)e，1z；
5)
z 2
1
z i
，在以i为中心的圆环域
内；
6)
1
sin，在z1的去心邻域内；
1z
z1z2
7)，3z4，4z。

z3z4
1
17．函数能否在圆环域0zR0R展开成洛朗级数？为什么？
tg
z
2
18．如果k为满足关系k1的实数，证明
sin n
k sin n1
2
12k cos kn0
cos kn
k cos n1
2
12k cos kn0
[提示：对zk展开
1
zk成洛朗级数，并在展开式的结果中置
i
ze，再令两边的实部与实部
相等，虚部与虚部相等。

]
19．如果C为正向圆周z3，求积分fzdz的值。

设fz为：
C
1
1)
；zz2
5
WORD格式可编辑
z2
2)
；z1z
1
3)
；
2
zz1
z
4)。

z1z2
20．试求积分z ndz的值，其中C为单位圆z1内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。

Cn2
WORD格式可编辑
6
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