第二章习题答案一、1、p。
简单命题。
2、p∧q。
联言命题。
3、⌝p。
负命题。
4、p∨q。
不相容选言命题。
5、⌝p∧q。
联言命题。
6、p→q。
假言命题。
7、⌝r→⌝（p→q）。
假言命题。
8、p∧q。
联言命题。
二、用真值表的方法验证下述公式是否重言式（略）1．⌝（A ∧⌝A）是2．（A →⌝A）→⌝A 是3．⌝A →（A →（B→C））是4．（A →（B→C）→（（A →B）→（⌝C →⌝A∨D））是5．A ↔ A∨（A→C）否6．（A ↔ B）→（（C↔D）→（（A↔C）→（B↔D）））是三、用归谬赋值法判定下述公式是否重言式：1．（⌝ A → A）→ A 是1 0 02．（A →B）→（（A ∨ C）→（B ∨ D））是1 0 0 1 0 0 0 0 03．（A →B）→（（C →D）→（A ∧ C → B ∧ D））是四、用树形图方法判定下述公式是否重言式：1．A ∧⌝A →（A ∧ B）∨ C）是⌝（A ∧⌝A →（A ∧ B）∨ C））A ∧⌝A⌝（A ∧ B）∨ C））A⌝A*2．（（A →B）→ A）→ A 是⌝（（（A →B）→ A）→ A）（A →B）→ A）⌝A⌝（A →B）A*A⌝B*3．（A →B）→（A∧C → B ）是⌝（（A →B）→（A∧C → B ））A →B⌝（A∧C → B ））A∧C⌝BAC⌝A* B*4．（A → B）→（（A∧C）↔（B∨ C））否⌝（（A → B）→（（A∧C）↔（B∨ C））A → B⌝（（A∧C）↔（B∨ C））A∧C ⌝（A∧C）⌝（B∨ C）B∨ CA ⌝A ⌝CCB C*⌝B⌝C* ⌝A B五、在P N中证明，下列公式是P N的定理：1．A ∨⌝A[证明]（1）⌝（A ∨⌝A）假设（2）A 假设（3）A ∨⌝A （2）析取引入（4）⌝（A ∨⌝A）（1）假设引用（5）⌝A （2）（3）（4）否定引入（6）A ∨⌝A （5）析取引入（7）⌝（A ∨⌝A）（1）假设引用（8）A ∨⌝A （1）（6）（7）否定引入2．⌝⌝A↔A[证明]（1）A 假设（2）⌝A 假设（3）A 假设引入（4）A∧⌝A 合取引入（5）⌝⌝A （2）（4）否定引入（6）A→⌝⌝A （1）（5）蕴涵引入（7）⌝⌝A 假设（8）⌝A 假设（9）⌝⌝A 假设引入（10）⌝A∧⌝⌝A 合取引入（11）A （8）（10）否定消除（12）⌝⌝A→A （1）（5）蕴涵引入（13）⌝⌝A↔A （6）（12）↔引入3、⌝（A∧⌝A）[证明]（1）A∧⌝A 假设（2）A 合取消除（3）⌝A 合取消除（4）⌝（A∧⌝A）（1）（2）（3）否定消除4．（A→B）→（⌝ B→⌝A）[证明]（1）A→B（2）⌝ B（3）A（4）B（5）⌝ B（6）B∧⌝B（7）⌝A（8）⌝ B→⌝A（9）（A→B）→（⌝ B→⌝A）5．（A→（B →C））→（⌝C→（B →⌝A））[证明]（1）A→（B →C）（2）⌝C（3）B（4）A（5）B →C（6）B（7）C（8）⌝C（9）C∧⌝C（10）⌝A（11）B →⌝A（12）⌝C→（B →⌝A）（13）（A→（B →C））→（⌝C→（B →⌝A））6．（A→B）→（（B→C）→（A→C））[证明]（1）A→B（2）B→C（3）A（4）B（5）C（6）A→C（7）（B→C）→（A→C）（8）（A→B）→（（B→C）→（A→C））7．（A∧B→C）→（（⌝C∧A）→⌝B）[证明]（1）A∧B→C 假设（2）⌝C∧A 假设（3）B 假设（4）⌝C∧A （2）假设引用（自推规则）（5）⌝C （4）合取消除（6）A （4）合取消除（7）A∧B （6）（3）合取引入（8）A∧B→C （1）假设引用（自推规则）（9）C （7）（8）蕴涵消除（10）C∧⌝C （9）（5）合取引入（11）⌝B （3）（10）否定引入（12）⌝C∧A→⌝B （2）（11）蕴涵引入（13）（A∧B→C）→（（⌝C∧A）→⌝B）（1）（12）蕴涵引入8．（A∧B）V（A∧C）→ A∧（B∨C）[证明]（1）（A∧B）V（A∧C）假设（2）A∧B 假设（3） A （2）合取消除（4） B （2）合取消除（5）B∨C （4）析取引入（6）A∧（B∨C）（3）（5）合取引入（7）（A∧B）→ A∧（B∨C）（2）（6）蕴涵引入（8）A∧C 假设（9） A （8）合取消除（10） C （8）合取消除（11）B∨C （10）析取引入（12）A∧（B∨C）（9）（11）合取引入（13）（A∧C）→ A∧（B∨C）（8）（12）蕴涵引入（14）A∧（B∨C）（1）（7）（13）析取消除（15）（A∧B）V（A∧C）→ A∧（B∨C）（1）（14）蕴涵引入六、在P N中证明，下述推理是有效的：1．A∧（B→C），⌝（C∧A）/∴⌝B[证明]（1）A∧（B→C）前提（2）⌝（C∧A）前提（3）B 假设（4）A （1）∧-（5）B→C （1）∧-（6）C （3）（5）→-（7）C∧A （6）（4）∧+（8）⌝（C∧A）（2）∈（前提引用）（9）（C∧A）∧⌝（C∧A）（7）（8）∧+（10）⌝B （3）（9）⌝+2．H→K，（K∧L）→M /∴L→（H→M）[证明]（1）H→K 前提（2）（K∧L）→M 前提（3）L 假设（4）H 假设（5）K （1）（4）→-（6）K∧L （5）（3）∈，∧+（7）M （2）（6）→-（8）H→M （4）（7）→+（9）L→（H→M）（3）（8）→+3．A∧B→C，⌝（C∨⌝A）/∴⌝B[证明一]（1）A∧B→C 前提（2）⌝（C∨⌝A）前提（3）⌝C∧A （2）德摩根律（4）⌝C （3）∧-（5）⌝（A∧B）（1）（4）MT（否定后件）（6）⌝ A ∨⌝ B （5）德摩根律（7）A （3）∧-（8）⌝⌝A （3）双否律（9）⌝ B （6）（9）析取简化律DR4 [证明二]（1）A∧B→C 前提（2）⌝（C∨⌝A）前提（3）⌝C∧A （2）德摩根律（4）B 假设（5）⌝C （3）∧-（6）A （3）∧-（7）A∧B （4）（6）∧+ （8）C （1）（7）→- （9）C∧⌝C （5）（8）∧+ （10）⌝ B （4）（9）⌝+4．A∨B，C，A∧C→D，⌝（⌝F∧B）/∴D∨F[证明]（1）A∨B 前提（2）C 前提（3）A∧C→D 前提（4）⌝（⌝F∧B）前提（5）F∨⌝B （4）德摩根律（6）⌝D 假设（7）⌝（A∧C）（3）（6）DR1（8）⌝A∨⌝C （7）德摩根律（9）⌝A （2）（8）DR4（10）B （1）（9）DR4（11）F （5）（10）DR4（12）⌝D→F （6）（11）→+ （13）D∨F （12）RP（等值置换）5．⌝（D∨C），⌝C→（A→⌝B），A↔B /∴⌝A[证明]（1）⌝（D∨C）假设（2）⌝C→（A→⌝B）假设（3）A↔B 假设（4）⌝D∧⌝C （1）德模根律（5）⌝C （4）合取消除（6）A→⌝B （2）（5）蕴涵消除（7）A→B （3）等值消除（8） A 假设（9）⌝B （6）（8）蕴涵消除（10） B （7）（8）蕴涵消除（11）B∧⌝B （9）（10）合取引入（12）⌝A （8）（11）否定引入6．A∨B，C，A∧C→D /∴D∨B[证明一]（1）A∨B 前提（2）C 前提（3）A∧C→D 前提（4）⌝ D 假设（5）⌝（A∧C）（3）（4）DR1（6）⌝A∨⌝C （5）德模根律（7）⌝A （2）（6）DR4（8）B （1）（7）DR4（9）D∨B （8）析取引入[证明二]（1）A∨B 前提（2）C 前提（3）A∧C→D 前提（4） A 假设（5）A∧C （2）（4）合取引入（6） D （3）（5）蕴涵消除（7）D∨B （6）析取引入（8）A → D∨B （4）（7）蕴涵引入（9） B 假设（10）D∨B （9）析取引入（11）B → D∨B （9）（10）蕴涵引入（12）D∨B （1）（8）（11）析取消除7．K→（L∨M→R），R∨S→T /∴K→（M→T）证明：（1）K→（L∨M→R）前提（2）R∨S→T 前提（3）K 假设（4）M 假设（5）L∨M→R （1）（3）蕴涵消除（6）L∨M （4）析取引入（7）R （5）（6）蕴涵消除（8）R∨S （7）析取引入（9）T （2）（8）蕴涵消除（10）M→T （4）（9）蕴涵引入（11）K→（M→T）（3）（10）蕴涵引入8．（M ∨ N）→（M→⌝N），⌝（N→P）→⌝（M→⌝N），M ∨ N /∴M ∨ P 证明：（1）（M ∨ N）→（M→⌝N）前提（2）⌝（N→P）→⌝（M→⌝N）前提（3）M ∨ N 前提（4）⌝M 假设（5）M→⌝N （1）（3）蕴涵消除（6）N→P （2）（5）DE1（导出规则）（7）N （3）（4）DE4（8）P （6）（7）蕴涵消除（9）⌝M→P （4）（8）蕴涵消除（10）M ∨ P （9）蕴涵律9．A↔B，⌝（A∧⌝R）→（A∧S）/∴⌝（B∧S）→⌝（A∧R）证明：（1）A↔B 前提（2）⌝（A∧⌝R）→（A∧S）前提（3）⌝（B∧S）假设（4）⌝B∨⌝S （3）德摩根律（5） B →⌝S （4）析蕴律（6） A → B （1）等值消除（7） A →⌝S （6）（5）DR2（导出规则2）（8）⌝A∨⌝S （7）析蕴律（9）⌝（A∧S）（8）德摩根律（10）A∧⌝R （2）（9）DR1（11）⌝R （10）合取消除（12）⌝A∨⌝R （11）析取引入（13）⌝（A∧R）（12）德摩根律（14）⌝（B∧S）→⌝（A∧R）（3）（13）蕴涵引入10．（A∧B）∨C，（A∧B）→（E→A），C→D /∴（E→A）∨D证明：（1）（A∧B）∨C 前提（2）（A∧B）→（E→A）前提（3）C→D 前提（4）⌝D 假设（5）⌝C （3）（4）DR1（6）A∧B （1）（5）DR4（7）E→A （2）（6）蕴涵消除（8）⌝D→（E→A）（4）（7）蕴涵引入（9）D∨（E→A）（8）析蕴律（10）（E→A）∨D （9）析取交换律11．C↔D，B → D∧E，⌝C∨⌝D /∴⌝B证明一：（1）C↔D 前提（2）B→ D∧E 前提（3）⌝C∨⌝D 前提（4） B 假设（5）D∧E （2）（4）蕴涵消除（6） D （5）合取消除（7）D→C （1）等值消除（8） C （6）（7）蕴涵消除（9）⌝D （3）（8）DR4（导出规则）（10）D∧⌝D （6）（9）合取引如（11）⌝B （4）（10）否定添加证明二：（1）C↔D 前提（2）B→ D∧E 前提（3）⌝C∨⌝D 前提（4） B 假设（5）D∧E （2）（4）蕴涵消除（6） D （5）合取消除（7）D→C （1）等值消除（8） C （6）（7）蕴涵消除（9）C∧D （6）（8）DR4（导出规则）（10）⌝（⌝C∨⌝D）（9）德模根律（11）⌝C∨⌝D （3）前提引用（12）⌝B （4）（10）（11）否定添加12．A∨（⌝B∨⌝C），A→（D→E），⌝（⌝B∨⌝D）/∴C→（D→E）证明：（1）A∨（⌝B∨⌝C）前提（2）A→（D→E）前提（3）⌝（⌝B∨⌝D）前提（4）C 假设（5）B∧D （3）德摩根律（6）（A∨⌝B）∨⌝C （1）析取结合律（7）A∨⌝B （4）（6）DR4（导出规则）（8） B （5）合取消除（9） A （7）（8）DR4（导出规则）（10）D→E （2）（9）蕴涵消除规则（11）C→（D→E）（4）（10）蕴涵消除规则。