Z(z - t3) =0
x2 +y2 +(z - z 0 ) =t22 +(t3 - z 0)2
由 Z(z - t3) =0 得 t3 =z , 所以 , 得方程组 F(t2 , t3) =0
t3 = z
x2 +y2 = t22
故此 , t2 =± x2 +y2 .
将 t 3 =z , t2 =± x2 +y 2 代入 F(t 2 , t3 ) =0 得
故由方程组消去参数 t1 , t2 , t3 得 : 2(x2 +y2 +z2) - 5(xy +xz +yz) + 5(x +y +z) - 7 =0 所以 , 定理知方程就是所要求 的旋转曲面方
程. 例 2 已知空间曲线 Γ:x +y +3z2 - z =0 y - x +z2 +3z - 2 =0
,
所以
,
含参数 t1 , t2 , t3 的方程组为 : t1 - 2t2 =0
t3 - 1 =0
(x - t1 ) +(y - t2) +(z - t3 ) =0
x 2 +y 2 +z 2 = t21 +t22 +t23
16
山西师 范大学学报(自然科学版) 2006 年
t1 =φ(t3 ) = (z)
t2 = Χ(t3) = Χ(z)
则方程(5)变为 : x2 +y2 = φ2 (z) + Χ2 (z)
此方程就是曲线 Γ绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面
的方程. 因此 , 得到如下结论 : 推论 1 设空间曲线 Γ的方程为 :
F(x , y , z) =0 G(x , y , z) =0
x2 +z2 = x2(y) +z2(y) 推论 3 设空间曲线 Γ的方程为 :
F(x , y , z) =0
G(x , y , z) =0
如果可解出
y =y(x)
z =z(x) 则曲线 Γ绕 x 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为
y 2 +z2 = y2 (x) +z2 (x)
如果曲线 Γ是y oz 坐标面上的曲线 , 则 t1 =0 ,
直于旋转轴 l 的平面与 以 p 0(x0 , y 0 , z0 ) 为中心 , |P0 M |为 半 径 的 球 面 的 交 线 , 所 以 , 过 点 M(t1 , t2 , t3) 的纬圆方程为 :
X (x - t1 ) +Y (y - t2 ) +Z(z - t3) =0 (x - x0 )2 +(y - y0 )2 +(z - z0 )2 = (t1 - x0 )2 +(t2 - y 0)2 +(t3 - z 0 )2
x
2 0
+(t2
-
y 0)2
+(t3
-
z 0)2
消去参数 t2 , t3 得到的方程 H (x , y , z) =0 就是平
面曲线 Γ绕直线 l 旋转所得到的旋转曲面方程.
如果 l 为 z 轴 , 此时 , x0 =y 0 =0 , X =Y =0 , z ≠0
上面方程组变为
F(t2 , t3) =0
The Discussion about Method of Requesting of Equation of Curled Curved Surface
DING Dian-kun , WANG Ru-liang
(Public Class Department , Shandong Universi ty of Science and Technology , Taian 271019 , Shandong , China)
2004. 262 ～ 265. [ 3] 南开大学数学系《空间解析 几何引 论》编 写组编. 空间解 析几
何引论(上册)[ M ] . 北京 :人民教育出版社 , 1978. 137 ～ 140. [ 4] 同济大学应用数学系主编 高等数学(上册)[ M ] . 北京 :高等教
育出版社 , 2002. 312 ～ 318.
旋转曲面方程求法的探讨
丁殿坤 , 王汝亮
(山东科技大学公共课部 , 山东 泰安 271019)
摘 要 :首先给出空间曲线 Γ绕空间直线 l 旋转所得到的旋转曲面 方程的求法 , 然后 , 作为 特例得到了 空间曲线 Γ绕坐标轴旋转所得到的旋转曲面 方程的求法 , 同时亦得 到了平 面曲线 Γ绕直线 l 及坐标轴 旋转分别所得到的旋转 曲面方程的求法 , 从而使旋转曲面方程的求法多样化 . 关键词 :空间曲线 ;空间直线 ;旋转曲面方程 ;求法 中图分类号 :O182. 3 文献标识码 :A
在高等数学中 , 旋转曲面是重要的内容之一 ,
但在许多教材中 , 只讲述了坐标面上的曲线绕坐标
轴旋转所得到的旋转曲面 , 未涉及到空间曲线绕空
间直线旋转所得到的旋转曲面 , 为了使旋转曲面方
程的求法多样化 , 应用方便 , 因此 , 本文就此作一探
讨. 定理 设空间曲线 Γ的方程为 :
F(x , y , z) =0 G(x , y , z) =0
空间定直线 l 的方程为 :
x - x0 = y - y 0 =z - z0
X
Y
Z
如果由含参数 t1 , t2 , t3 的方程组 :
F(t1 , t2 , t3 ) =0 G(t1 , t2 , t3 ) =0 X(x - t1) +Y (y - t2 ) +Z(z - t3 ) =0
(x - x0 )2 +(y - y0 )2 +(z - z0)2 = (t1 - x0 )2 +(t 2 - y 0)2 +(t3 - z 0)2
(- z2 +2z - 1)2 +(- 2z2 - z +1)2 即 x2 +y 2 =5z 4 +3z2 - 6z +2 就是所要求的旋转 曲面方程.
参考文献 : [ 1] 江苏师范学院数学系《解析 几何》编写组编. 解析几何[ M] . 北
京 :高等教育出版社 , 1982. 155 ～ 158. [ 2] 王志平. 高等 数学 大讲 堂[ M ] . 大连 :大连 理工 大 学出 版社 ,
F(± x 2 +y 2 , z) =0 就是平面曲线 Γ:F(y , z) =0 绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面方程.
同理可得平面曲线 F(y , z) =0 绕 y 轴旋转所
得到的旋转曲面方程 F(y , ± x2 +z2) =0. 同样 平面曲线 F(y , z) =0绕 x 轴 、y 轴旋转所得到的旋
15
所以 , 由
F(t1 , t2 , t3) =0 (1)
G(t1 , t2 , t 3) =0
(2)
X(x - t1 ) +Y (y - t2) +Z(z - t3 ) =0 (3)
(x - x0)2 +(y - y 0)2 +(z - z0 )2 =
(t1 - x0)2 +(t2 - y0 )2 +(t3 - z 0 )2 (4) 消去参数 t1 , t2 , t 3 得到的方程 H(x , y , z) =0 , 就是
所以
F(0 , t2 , t3 ) =0
G(0 , t2 , t3 ) =0
就可用其中一个方程 F(t2 , t3) =0 表示. 因此 , 含 有两参数 t2 , t3 的方程组
F(t2 , t3) =0
Xx +Y (z - t2) +Z(z - t3 ) =0
(x - x0)2 +(y - y 0)2 +(z - z0 )2 =
收稿日期 :2005-12-10
基金项目 :山东科技大学课题资助项目([ 2005] 07 - 44). 作者简介 :丁殿坤(1956 —) , 男 , 山东新泰人 , 山东科技大学公共课部副教授 , 主要从事 基础数学方面的研究.
第 2 期 丁殿坤 王汝亮 :旋转曲面方程求法的探讨
转曲面方程分别为 F(x , ± y 2 +z2) =0 和 F(±
x2 +y 2 , y) =0.
例
1
求直线
x 2
=
y 1
=z
0
1 绕直线
x
=y
=
z 旋转所得到的旋转曲面方程. 解 :因旋转轴 l 通过原点 , 故 x 0 =y0 =z0 =0
而 Γ:2x
=
y 1
=z
0
1
可写成
x z
-
2y =0 1 =0
第 20 卷第 2 期 2006 年 6 月
山西师范大学学报(自然科学版) Jo urnal of Shanxi No rmal U niver sity
N atural Science Edition
V ol. 20 N o. 2 June. 2006
文章编号 :1009-4490(2006)02-0014-03
如果可解出
x = x(z) y =y(z)
则曲线 Γ绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为 x2 +y2 = x 2(z) +y2 (z)
推论 2 设空间曲线 Γ的方程为 :
F(x , y , z) =0
G(x , y , z) =0
如果可解出
x = x(z)
y =y(z) 则曲线 Γ绕 y 轴旋转得到到的旋转曲面方程. 解 :因空间曲线 Γ的方程 : x +y +3z2 - z =0 y - x +z 2 +3z - 2 =0