e x1 位矢量在第1个坐标系 T e1 e2 e y1 e x 2 e y 2 e z 2 中的投影（列阵） e z1 e x1 e x 2 e x1 e y 2 e x1 e z 2 z1 e e y1 x 2 e y1 e y 2 e y1 e z 2 e z 1 e x 2 e z 1 e y 2 e z 1 e z 2 z2 r y2
T 1 1
T r1 e1 e2 r2
r
O
T 2 2
y2
y1 x1 x2
e x1 e1 e1T e y1 e x1 e z1
e y1
e z1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
T r1 e1 e2 r2
y
Y
R = Ro + r
cos sin A 0 sin cos 0 0 0 1
r R o Ro
x θ
X’
O
T
X
R Ro Ar
r A ( R Ro )
四、轨道的转换关系
卫星的运动微分方程 是在惯性坐标系 OXYZ中列写的
Z
dr r 3 2 dt r
y1 y4 y y 2 5 y3 y6 2 y4 y1 2 y5 y 2 y 2 y 5 2 4 y6 g
可以用matlab的程序求解
A在惯性坐标系中，其动力学方程为
m F r
其分量形式为
正是刚体转动中的欧拉角：
z' i O Ω λ y'
Z
x'
f
ω N
p Y
, ,
0,2 进动角 0, 章动角 0,2 自转角
X
五、欧拉角定义
z2
OXYZ：固定坐标系，定系 Oxi yi zi：与刚体固连的结体 系，动系，下标表示第几次 转动。初始时结体系与参考 系重合
Ω
X
ω
N
e
i ( f )
轨道坐标系
AXx ' A() A(i) A( f )
六、两种轨道计算的转换关系
（1）已知轨道根数，求出轨道后
r, f , , i, 均已知，对每一个计算点，
y’ y x’ x
X x ' Y AXx ' y ' Z z '
T A12 e1 e2
第2个坐标系的z轴单
坐标转换矩阵
O y1 x1 x2
r1 A12 r2
特例
cos AXx sin 0
1 rx 0 0
sin cos 0
0 0 1
Y y
r
θ O
x
X
cos rX AXx rx sin 0
sin cos 0
0 0 1
X
x1x2 x3
下面把欧拉角与轨道根数联系起来 i 表示轨道顷角；ON 表示节线，是轨道平面与地 球赤道平面的交线。 Ω 表示升交点赤径，节线 ON与X轴的夹角。 ω 表示近地点幅角，节线ON 与 e 的夹角。
Z

r
S
h
i
O
i
Y
极坐标系
e1T r1 e x1
e y1
x1 T e z1 y1 e2 r2 e x 2 z 1
ey2
x2 e z 2 y2 z 2
二、坐标转换矩阵
T r e1T r1 e2 r2
z1 z2
e1 e r e1 e r
Z A O Y X o x y z B
B在非惯性坐标系中，其动力学方程为
m F mω×(ω×r) 2 mω×r r
其分量形式为
z
2 x 2 y x 2 y 2 x y g z x 0 初始条件为 y r z 0
B
o x
y
x vx y vy z vz
根据相对运动微分方程求解：
2 x 2 y x 2 y 2 x y g z
设
y1 x, y2 y, y3 z y4 x, y5 y, y6 z
y' z' i
x'
r
O
Ω
f
p Y
根据前面的分析，有
X x ' Y AXx ' y ' Z z '
λ
ω N
AXx ' ?
X
如果让 Ox ' y ' z ' 开始时 与 OXYZ 重合，则图中 定义的三个角度
, i, ( f )
z x y
（1）点头同意――主要是章动角在变化，另两个角为零； （2）摇头不同意――主要是自转角在变化，另两个角为零； （3）摇头晃脑――主要是进动角在变化，自转角为零，章动角不为零。
欧拉角的方向余弦矩阵
A AXx3 AXx1 Ax1 x2 Ax2 x3 A( ) A( ) A( )
T r2 A121r1 A12 r1 A21r1
（3）传递性
r1 A12 r2
r2 A23r3
r1 A12 r2 A12 A23r3
A13 A12 A23
r1 A13r3
例题 两位观察者，A 在地面（惯性坐标系）上， B 在匀速转动的转盘（非惯性系）上。B随手 抛出一物体，求两位观察者认为物体应遵守的 动力学方程，看到的运动轨迹，以及相应的转 换关系。
这样就把轨道平面内卫 星轨道坐标系中的曲线 转化到惯性坐标系中了
Z
AXx ' A() A(i) A( f )
X Y
x' r y ' 0 z ' 0
（2）已知初始位置、速度，求出轨道后 根据初始的位置和速度，可以求出全部的轨道根数 （ppt中给出过计算公式） ，特别是 , i, 均已知，对每一个计算点， Z Y
mx 0 my 0 mz mg x a y b r z c
Z A O Y X
初始条件为
x vx r y vy z vz
坐标转换关系 设OXYZ为惯性系 oxyz为非惯性系 Y’
z3
Z z1

y3 y2 y1
欧拉角的转动次序：
1.绕Z轴转动 2.绕x1轴转动 3.绕z2轴转动
O
Y

X

x1 x2
x3
欧拉角与方位是一一对应的： 给定欧拉角 , , 坐标系可唯一确定。 给定坐标系， 欧拉角也是唯一确定的。 O Z
z

y
角容易确定
如何确定、?
X
Y


x
N(节线)
找xy平面与XY平面 的交线，称为节线
关于欧拉角的具体例子 人的头部相对身体可以认为是作定点运动。如果 初始状态头部的固连坐标系定义为：前后是x方向， 左右是y方向，上下是z方向，如图所示。 请说出下列常见的头部动作主要是什么欧拉角在 变化？ （1）点头同意； （2）摇头不同意； （3）摇头晃脑吟诗。
sin cos 0
0 1 cos 0 0 sin 1 0 0
三、坐标转换矩阵的性质 （1） A11 A22 I （2）单位正交矩阵 AT A1
r1 A12 r2
X y
x X T y AXx Y z Z
这样就把惯性坐标系中 的曲线转化到了轨道平 面内的极坐标中
AXx A() A(i) A()
x
设 r 是矢量，其与坐标系无关。
z1 z2 O
但其分量与坐标系有关
x1 r1 y1 z 1 x2 r2 y2 z 2
r
y2
y1
x1 x2
r x1ex1 y1e y1 z1ez1 x2ex 2 y2e y 2 z2ez 2
2
y' z' i
x'
f
OΩpຫໍສະໝຸດ Y而轨道根数表示法是 在卫星轨道平面内的 极坐标中列写的
ω N
λ
a (1 e ) r 1 e cos f
2
X
在卫星轨道平面内的轨道坐标系Ox’y’z’中
Z
x' r y ' 0 很容易得到 z ' 0
数据转换
一、坐标系 设有不同的坐标系 Ox1 y1 z1 Ox2 y2 z2
z1 z2 O
Ox1 y1 z1 的基矢量为
y2
e x1 e1 e y1 e z1 ex 2 e2 e y 2 e z2
y1
x1 x2
Ox2 y2 z2 的基矢量为
cos A( ) sin 0 sin cos 0 0 0 1
z2
Z

z3
z1
y3
y2
y1
O


0 1 A( ) 0 cos 0 sin
sin cos 0
Y
cos A( ) sin 0