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思考题
2.4飞机以常速率v0沿水平方向飞行，问它 应该绕什么样的闭环曲线飞行，才能使得 在给定时间T内绕过最大的面积。假定风 速是恒定的（即风向和大小都是一定的） 2.5已知泛函 4 2 2 ′ ′ J y x = y − 1 y + 1 )( ) dx, y ( 0 ) =0, y ( 4 ) =2 ( ) ∫0 ( 试求泛函具有一个尖点的分段极值曲线
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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18
最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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思考题
2.7 设求泛函
= δJ
∫
x1
x0
∂L ∂L ∂y δ y + ∂y′ δ y′dx
x1
x1 ∂L ∂L d ∂L = δ y + ∫ − δ ydx ∂y′ x0 x0 ∂y dx ∂y′
横截条件
∂L ′δ y = 0 ∂y x0
x
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思考题
1. 航空动力系统中还有哪些最优控制问题 2. 最优控制与最优化的区别与联系
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思考题
2.1 等周问题、最小旋转面问题、悬链线问 题、最优控制问题的性能泛函和约束条件 b = [ y ] ∫ f ( x, y, y′, y′′)dx, y= (a) y (b) 0 2.2 求泛函 J= a 的变分 2.3 求最小旋转面问题的极值曲线
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

终端状态的几种情形
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5
最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
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6
最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
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最优控制——变分法 2.1.1古典变分法的典型问题

古典变分法的典型问题
•最短连线问题 •最速降线（捷线）问题 •短程线（测地线）问题
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最优控制——变分法 2.1.2.1泛函的变分

泛函和函数的对应关系
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最优控制——变分法 2.1.2.1泛函的变分
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
条件极值的变分问题 （1）代数等式约束 （2）微分方程约束 （3）积分方程约束 （4）不等式约束

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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
有角点的极值曲线
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
利用给定的边界条件，求出使泛函取得极 值的极值函数的近似表达式。 • 基本思路是用梯度法等进行数值计算，经 过若干次迭代，得到最优控制规律。 • 欧拉有限差分法、里茨法、最小二乘法、 配置法、分区平均法等等。
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法

欧拉有限差分法

维尔斯特拉斯（Weierstrass）第一角条件
∂L ∂L ∂L dx x) − x0 ) ( ( ∫x0= ∂y ∂y′ ∂y′
x
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理

维尔斯特拉斯（Weierstrass）第二角条件
∂L = d x H ( x ) − H ( x0 ) ∫x0 ∂ x

泛函极值问题及相关结论
•泛函极值 •欧拉方程 •横截条件 •条件极值问题 •角点问题
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最优控制——变分法 2.1.2.3泛函极值
δJ =0
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最优控制——变分法 2.1.3.泛函极值的变分问题
= δJ
∫
x1
x0
∂L ∂L ∂y δ y + ∂y′ δ y′dx
肖玲斐 lfxiao@
最优控制 前次课程回顾——变分法

最优控制问题描述 最优控制问题求解 •终端时刻tf固定，终端状态x(tf)受约束 •终端时刻tf自由，终端状态x(tf)受约束
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
重点掌握
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思考题
2.6 设系统状态方程为
x ( 0 ) 1, = x (t f ) 0 给定边界条件为 = 求使性能指标 t
1 f 2 2 = J x + u dt ( ) ∫ 2 0
(t ) = x − x (t ) + u (t )
为极小的最优控制和最优轨线
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x1
x1 ∂L ∂L d ∂L = δ y + ∫ − δ ydx ∂y′ x0 x0 ∂y dx ∂y′
欧拉方程
∂L d ∂L − = 0 ∂y dx ∂y′
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
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x1
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
两端点可移动的曲线
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32
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33
最优控制——变分法 2.1.3.泛函极值的变分问题
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21
最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理

变分法基本概念和原理
•古典变分法的典型问题 •泛函及其变分 •泛函极值问题及相关结论
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22
最优控制——变分法 2.1.2泛函及其变分

泛函及其变分 •泛函 •宗量 •泛函的变分
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23
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法

例：设求泛函
J = y ( x)
∫
1
0
2 2 ′ y + y + 2 xy )dx (
极小值问题的近似解， ( 0 ) y= (1) 0 边界条件为 y=
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
最优控制问题求解 横截条件 协态方程 控制方程
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

最优控制问题的描述
x f ( x (t ) , u (t ) , t ) , t ∈ t0 , t f tf x (t f ) , t f + ∫ L u ( ) x (t ) , u (t ) , t J F dt = t0 x (t0 ) = x0 =0 x t , t ( ) f f N umin ≤ u ≤ umax
J = y ( x)
∫
1
0
2 2 ′ y + y + 2 xy )dx (
极小值问题的解析解， ( 0 ) y= (1) 0 边界条件为 y=
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最优控制——变分法 本章小结
变分法基本概念和原理 变分法解最优控制问题 变分问题的直接解法

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泛函变分的一个重要形式
∂ δJ J [ y ( x) + αδ y ( x)] ， 0 ≤ α ≤ 1 = ∂α α =0
• 将求泛函的变分化为求函数的微分 • 因此可以利用函数的微分法则,方便地计算
泛函的变分。
能法 2.1变分法基本概念和原理
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法


各种变分问题的最后求解都可归结为解 欧拉方程的边值问题。 欧拉方程才能求出解析解。在大多数情 况下，欧拉方程的解析解无法求出。
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法

变分问题的直接方法
• 不通过求解欧拉方程而直接从泛函出发，
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肖玲斐 lfxiao@