积分
x(t) C1t
求解
计算 x& C1
F x& C x& 1 x&2
(
1 x&2 (t) (& x&)
1
x& x&2
)T
1 &x&
1 x&2 T
0
&x&T 1
所求的极值曲线与约束曲线相正交
7.2.4 含有多个未知函数泛函的极值
泛函
T
J (x1,L xn ) t0 F(x&1,L , x&n; x1,L , xn;t)dt
分部积分
J T [(F d F ) x]dt F x T
t0 x dt x&
x& t0
x
T t0
0
J
T F (
d
F ) xdt
0
t0 x dt x&
例7.2.2 求平面上两固定点间连线最短的曲线
J (x(g)) T 1 x&2(t)dt t0
F d F d F 0
对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能 指标
(x(T ),T ) 0 积分型性能指标，表示对整个状
态和控制过程的要求 L(x(t),u(t),t) 0 终点型指标，表示仅对终点状态
的要求
7.2 求解最优控制的变分方法
7.2.1 泛函与变分法基础
平面上两点连线的长度问题
其弧长为
S 1 1 x&2 (t)dt 1
u
令 &(t) H (x, ,u,t)
x
伴随方程
(T ) (x(T ))
x(T )
有 J T (H )T udt 0 t0 u
H u
0
必要条件
例7.2.5 考虑状态方程和初始条件为
x(t) u(t)
x(t0 ) x0
的简单一阶系统，其指标泛函为
J 1 cx2 (T ) 1 T u2dt
一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖 于曲线，记为 S(x(。g))
S(x(g)) ，称为泛函。 x(t) ，称泛函的宗量
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t) x(t) x(t)
泛函的增量 J (x(g)) J (x(g) x) J (x(g)) L(x, x) r(x, x)
x dt x& dt x& ，
F 1 x2 (t)
d
dt
2x&
0
1 x&2
x(t) a
x(t) at b
直线
x c 1 x2
7.2.3 横截条件
横截 条件
[F (& x&) F ] 0
x& T
左端固定右端沿曲线变动 终点值与终点的变分
J
T T
t0 F (x x, x& x&,t)dt | 0
J
J[x
x] 0
0
上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用
7.2.2 欧拉方程
泛函
J (x(g))
T
F(x&, x,t)dt
t0
F d F 0 x dt x&
F(x, x, t) 有二阶连续偏导数
两端固定 x(t0 ) x0 x(T ) x1
变分
J T (F x& F x)dt t0 x& x
x(T ) 2
由必要条件
H u 0
u
得
u cx(T )
代入状态方程求解得
x(t) cx(T )(t t0 ) x0
令 t T ，则有
x(T )
x0
1 c(T t0 )
则最优控制为
u(t) cx(T ) cx0 c(T t0 )
7.2.6.2 固定端问题
x(t) tt0 x0
状态方程 引进乘子
f (x, x, t) 0
泛函
T
J F(x&, x,t)dt
t0
(t) (1(t),L L , n (t))T
构造新的函 F F T f
数和泛函
Jˆ T (F T f )dt T Fdt
t0
t0
欧拉方程
F * d F * 0 x dt x&
约束方程
F * d F *
7.1 最优控制问题
7.1.1 两个例子
例7.1.1 飞船软着陆问题 宇宙飞船在月 球 表 面着陆时速度必须为零，即软着陆， 这要靠 发动机的推力变化来完成。问题是如 何选择 一个推力方案，使燃料消耗最小。
m 飞船的质量，h 高度，v 垂直速度， g 月球重力加速度常数，M 飞船自身质量 F 燃料的质量
x1 (t )
1 6
a1t 3
1 2
a2t
2
a3t
a4
x2
(t)
1 2
a1t
2
a2t
a3
利用边界条件，可得：
a1 3
7 a2 2
a3 1
a4 1
于是，极值曲线和 u(t) 为：
x1 (t )
1 2
t3
7 4
t2
t
1
x2 (t)
3 2
t2
7 2
t
1
u(t) 3t 7 2
7.2.6 最优控制问题的变分解法 7.2.6.1 自由端问题
x1(t) Q(t) x2 (t) x&1(t) Q&(t)
约束方程可定为
x&1(t) x2 (t) 0 x&2 (t) u(t) 0
边界条件为
x1(0) 1 x2 (0) 1 x1(2) 0
x2 (2) 0
引进乘子 (t) (1(t), 2 (t))T
构造函数
F
F T
f
L(x,x) lim r(x x) x L(x,x) 0 x
例7.2.1 求泛函的变分
T
J F(x&, x,t)dt t0
J
J (x x)
0
T F(x& x&, x x,t)dt t0
T (F x& F x)dt t0 x& x
定理7.2.2 若泛函 J (x)有极值，则必有 J 0
x(T )
T ((H &)T x (H )T u)dt
x
t0 x
u
& H
x
(t)
T
x(T )
(x(T ))
x(T )
k
vj
j 1
g j x(T )
T (H )T udt 0
t0 u
必要条件 H 0
u
，
，
x(t) H
x(t) t0 x0
&(t) H
x
(t )
T
(x(T )) x(T )
(t)
7.1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x(t) Rn
u(t) Rr
x&(t) f (x(t),u(t),t) x(t) |tt0 x0 为n维状态向量 为r维控制向量
f (x(t),u(t),t) 为n维向量函数
给定控制规律 u(t) f (x(t),u(t),t) 满足一定条件时，方程有唯一解
x(t) T xT
性能指标
T
J L(x,u,t)dt t0
，
J
T
(H
t0
&Tx)dt
Tx
T
Tx
t0
J T ((H &)T x (H )T u)dt
t0 x
u
&(t) H
x
T (H )T udt 0
t0 u
H 0 u
例7.2.6 重解例7.2.4 x&1(t) x2 (t) x&2 (t) u(t)
2
2 t0
其中 c 0 ，t0 ，T 给定，试求最优控制 u(t) ，使
J 有极小值。
解:引进伴随变量 (t) ，构造哈米顿函数
H L(x, , t) (t) f (x, u, t) 1 u2 u
2
伴随方程
&(t) H 0
x
边界条件
，
(T ) 1 cx2 (T ) cx(T )
T F (
t0 x
d dt
F ) xdt
x&
F x
x&
T t0
F
T
T
J
F x
x&
T
F
T T
0
Fx&(&
x&)
T
T
FT T
[F
(&
x&) F ] x& T
T
0
例7.2.3 从一固定点到已知曲线有最小长度的曲线
J (x(g)) T 1 x&2(t)dt 欧拉方程 t0
d F 0 dt x&
1 u2 2
1(x&1 x2 ) 2 (x&2 u)
欧拉方程
F * x1d dtF * Nhomakorabea&1
&1
0
F * x2
d dt
F *
x&2
&1 &2
0
F * u
d dt
F * u&
u
2
0
解出 1 a1 2 a1t a2
其中， a1 和 a2 为任意常数。
u a1t a2
将 u(t) 代入约束方程，并求解可得