2
第七章 应力状态和强度理论
p cos 0 cos2
p
sin
0
2
sin 2
单向应力状态
3
第七章 应力状态和强度理论
sin 2 cos 2
纯剪切应力状态 4
第七章 应力状态和强度理论
研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：
1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸 时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45˚ 斜截面上材 料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚ 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。
由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以
2为参变量的求 斜截面上应力，的公式：
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
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第七章 应力状态和强度理论
Ⅱ. 应力圆
为便于求得， ，也为了便于直观地了解平面应力
状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力 圆(莫尔圆)(Mohr’s circle for stresses)来表示。
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第七章 应力状态和强度理论
§7-2 平面应力状态的应力分析·主应力
平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不 同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对 平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应 力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪 切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面 上的应力”)。
2. 在不可能总是通过实验测定材料 极限应力的复杂应力状态下，如图所示, 应力状态分析是建立关于材料破坏规律 的假设(称为强度理论)(theory of strength, failure criterion)的基础。
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第七章 应力状态和强度理论
本章将研究 Ⅰ. 平面应力状态下不同方位截面上的应 力和关于三向应力状态(空间应力状态) 的概念；Ⅱ. 平面 应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——广义胡克 定律(generalized Hooke’s law)，以及这类应力状态下的应变 能密度(strain energy density)；Ⅲ. 强度理论。
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第七章 应力状态和强度理论
(a)
(b) (c)
对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横 截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立 体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面 应力状态。
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第七章 应力状态和强度理论
平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先 分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的 应力。
需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半
径 C D1按方位角的转向转动2角，得到半径 C E ，那 么圆周上E点的座标便代表了单元体斜截面上的应力。
现证明如下(参照图b)：
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第七章 应力状态和强度理论
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第七章 应力状态和强度理论
Ⅰ. 斜截面上的应力
图b中所示垂直于xy平面 的任意斜截面ef 以它的外法线
n与x轴的夹角 定义，且角
以自x 轴逆时针转至外法线n为 正；斜截面上图中所示的正应
力 和切应力均为正值，即 以拉应力为正，以使其所
作用的体元有顺时针转动趋势 者为正。
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体元的平衡方程为
第七章 应力状态和强度理论
先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项 移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：
x
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 x
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第七章 应力状态和强度理论
而这就是如图a所示的一个圆——应力圆，它表明代
表 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。
x
2
y
2
2 x
O
C
x y
2
(a)
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第七章 应力状态和强度理论
Ft 0， d A x d Acos sin x d Acos sin
y
d
A s in
s in
Hale Waihona Puke ydAsin
cos
0 11
第七章 应力状态和强度理论
需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力y
按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程
时已考虑了它的实际指向，故方程中的y仅指其值。也正 因为如此，此处切应力互等定理的形式应是x=y。
§7-1 概述
在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面 杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出： 一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处 的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根 据从该点处取出的微小正六面体── 单元体的三对相互 垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状 态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力 来表示。
图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元
体x截面上的应力x,x按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面 上的应力y,y(取y = -x)定出点D2，然后连以直线，以它与
轴的交点C为圆心，并且以 CD1 或 CD2为半径作圆得出。
D1 x , x
O
C
D2 y , y
(b)
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第七章 应力状态和强度理论
由图c知，如果斜截面 ef的面积为dA，则体元左侧
面eb的面积为dA·cos，而 底面bf 的面积为dA·sin。
图d示出了作用于体元ebf 诸 面上的力。
Fn 0， d A x d Acos sin x d Acos cos
y d Asin cos y d Asin sin 0
D1 x , x
O
C
D2 y , y
(b)
值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的
x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180˚，它是单
元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述，计 算公式中以2 为参变量这个前提。
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第七章 应力状态和强度理论
利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，时，只
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 概述 §7-2 平面应力状态的应力分析·主应力 §7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系 §7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 *§7-7 莫尔强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
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第七章 应力状态和强度理论