第5章 样本及抽样分布1,设总体X 服从均值为1/2的指数分布，4321,,,X X X X 是来自总体的容量为4的样本，求（1）4321,,,X X X X 的联合概率密度；（2）}2.17.0,15.0{21<<<<X X P ； （3）)(),(X D X E ；（4）)(21X X E ，])5.0([221-X X E ；（5）)(21X X D 。

解：因为X 的概率密度为x e x f 22)(-=，0>x ，所以（1） 联合概率密度为)()()()(),,,(43214321x f x f x f x f x x x x g =)(2432116x x x x e +++-=，（0,,,4321>X X X X ）（2）21,X X 的联合概率密度为)(2212x x e +-，所以⎰⎰⎰⎰----==<<<<2.17.02215.01215.02.17.02122212121224}2.17.0,15.0{dx e dx edx dx e X X P x x x x))((4.24.121------=e e e e（3）,21)(41)(41==∑=i i X E X E 1612141)(161)(241=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==∑=i i X D X D ； （4）41)()()(2121==X E X E X X E ，（由独立性）]41)()([21]41[21])5.0[()(])5.0([222222221221+-=+-=-=-X E X E X X E X E X E X X E 81]412141[21]4121)()([212222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-+=X E X D ； （5）222212122212141)()()(])[()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X X E X X E X X D163161)4141)(4141(161)]()()][()([222121=-++=-++=X E X D X E X D 。

2，设总体)100,75(~N X ，321,,X X X 是来自X 的容量为3的样本，求 （1）}85),,{max(321<X X X P ，（2）)}9075()8060{(31<<⋃<<X X P ， （3）)(232221X X X E ，（4）)(321X X X D ，)32(321X X X D --， （5）}148{21≤+X X P 。

解：（1）=<<<=<}85,85,85{}85),,{max(321321X X X P X X X P()3131321}1075851075{}85{}85{}85{}85{⎪⎭⎫⎝⎛-<-=<=<<<X P X P X P X P X P5955.08413.0)]1([33==Φ=；（2）)9075()8060()}9075()8060{(3131<<+<<=<<⋃<<X P X P X X P}1075901075107575{}1075801075107560{}9075{}8060{3131-<-<-+-<-<-=<<<<-X P X P X P X P }1075901075107575{}1075801075107560{31-<-<--<-<--X P X P )]0()5.1()][5.0()5.0([)]0()5.1([)]5.0()5.0([Φ-Φ-Φ-Φ-Φ-Φ+-Φ-Φ=6503.04332.0383.04332.0383.0]5.09332.0][1)5.0(2[]5.09332.0[]1)5.0(2[=⨯-+=--Φ--+-Φ= （本题与答案不符）（3）323121232221232221]75100[)]()([)()()()(+=+==X E X D X E X E X E X X X E11108764.1⨯=；（4）)(108764.1)(])[()(161132122321321X E X X X E X X X E X X X D -⨯=-=961110662.975108764.1⨯=-⨯=；1400)()(9)(4)32(321321=++=--X D X D X D X X X D ；（5）因为)200,150(~21N X X +，所以4443.05557.01)102(1)200150148(}148{21=-=Φ-=-Φ=≤+X X P 。

3，设总体)5(~πX ，321,,X X X 是来自X 的容量为3的样本，求 （1）}3,2,1{321===X X X P ；（2）}1{21=+X X P 。

解：（1）因为321,,X X X 相互独立，所以61252255}3{}2{}1{}3,2,1{555321321---⨯⨯========e e e X P X P X P X X X P000398.012e 15625-15==；（2）}0,1{}1,0{}1{212121==+====+X X p X X p X X P1055551055-----=⨯+⨯=e e e e e 。

4，（1）设总体)3.6,52(~2N X ，3621,,,X X X 是来自X 的容量为36的样本，求}8.538.50{<<X P ；（2）设总体)4,12(~N X ，521,,,X X X 是来自X 的容量为5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。

解：（1）根据题意得)36/3.6,52(~2N X ，所以)6/3.6528.50()6/3.6528.53(}6/3.6528.536/3.6526/3.6528.50{}8.538.50{-Φ--Φ=-<-<-=<<X P X P 8293.0)8729.01(9564.0)143.1()7143.1(=--≈-Φ-Φ=； （2） 因为)5/4,12(~N X ， }1311{}112{≤≤=≤-X P X P7372.0)8686.01(8686.0)118.1()118.1(}8.012134.0148.01211{=--=-Φ-Φ=-≤-≤-=X P 所以2628.07372.01}112{1}112{=-=≤--=>-X P X P 。

5，求总体)3,20(N 的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。

解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为X 和Y ， 则)3.0,20(~N X ，)2.0,20(~N Y ，所以)5.0,0(~N Y X -，)]5.03.0()5.03.0([1}3.03.0{1}3.0{1}3.0{-Φ-Φ-=≤-≤--=≤--=>-Y X P Y X P Y X P 6744.0)42.0(22=Φ⨯-=。

6，下面给出了50个学生概率论课程的一次考试成绩，试求样本均值和样本方差，样本标准差，并作出频率直方图（将区间（35.5，105.5）分为7等份）。

解：易得92.74501==∑=i i x x ，5037.201)(1125012=--=∑=i i x x n s ，1952.14=s ， 处理数据得到以下表格根据以上数据，画出直方图（略）7，设总体)383,4.76(~N X ，421,,,X X X 是来自X 的容量为4的样本，2s 是样本方差。

（1）问∑=-=412383)4.76(i i X U ，∑=-=412383)(i i X X W 分别服从什么分布，并求)(2s D 。

（2）求}779.7711.0{≤<U P ，}251.6352.0{≤<W P 解：（1）因为)1,0(~3834.76N X -，所以，)4(~3834.76383)4.76(2412412χ∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=i i i i X X U 而根据定理2 ，)3(~3833383)(383)(22412412χs X XX X W i ii i =-=-=∑∑== 因为6)3833()(2==s D W D ，所以3/2933789/3836)(22=⨯=s D 。

（2）)95.01()1.01(}711.0{}779.7{}779.7711.0{---=≤-≤=≤<U P U P U P =0.85（第二步查表）85.0)95.01()1.01(}352.0{}251.6{}251.6352.0{=---=≤-≤=≤<W P W P W P8，已知)(~n t X ，求证),1(~2n F X 。

证明：因为)(~n t X ，所以存在随机变量)(~),1,0(~2n Z N Y χ 使得 n Z YX /=， 也即 n Z Y X /22=，而根据定义),1(~22χY 所以),1(~/1/22n F nZ Y X =，证毕。

（第5章习题解答完毕）。