第4讲 二次函数的概念与解析式 知识定位讲解用时：3分钟A 、适用范围：人教版初三，基础一般B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习一类新函数——二次函数，重点掌握二次函数的概念以及三种解析式，能够准确判断函数的类型，能够根据点的坐标求出二次函数的解析式，本节课的难点在于三种解析式之间的区分，需要学生能够根据点的坐标特点准确选择合适的解析式形式进行求解。

知识梳理讲解用时：20分钟课堂精讲精练 【例题1】 下列函数中，二次函数是（ ）。

c bx +（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项，a ≠0，b 或c 可以为0。

判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0（2）定义域 （1）一般式)0(2≠++=a cbx ax y 形如)0(2≠++=a c bx ax y 的式子叫做二次函数的一般式。

如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式。

（2）顶点式)0()(2≠++=a k m x a y形如)0()(2≠++=a k m x a y ，k ）称为抛物线的顶点坐标，直线x=-m 称为抛物线的对称轴。

如果已知二次函②根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x 1，a ）、（x 2，a ），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x x x +=； ②对于任意二次函数2y ax bx c =++，当0x =时，即20ax bx c ++=，根据一元二次方程的求根公式可得：1x =2x =A ．y=﹣4x+5B ．y=x （2x ﹣3）C ．y=（x+4）2﹣x 2D ．21x y =【答案】B【解析】本题考查了二次函数的定义，A 、y=﹣4x+5为一次函数；B 、y=x （2x ﹣3）=2x 2﹣3x 为二次函数；C 、y=（x+4）2﹣x 2=8x+16为一次函数；D 、21xy =不是二次函数，故选：B ． 讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论。

教学建议：牢记二次函数的定义即可。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：资中县一模 年份：2019【练习1】下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ）。

A ．y=ax 2+bx+cB ．y=x （x ﹣1）C ．21x y =D ．y=（x ﹣1）2﹣x 2【答案】B【解析】本题考查了二次函数的定义，A 、当a=0时，y=bx+c 不是二次函数；B 、y=x （x ﹣1）=x 2﹣x 是二次函数；C 、21xy =不是二次函数； D 、y=（x ﹣1）2﹣x 2=﹣2x+1为一次函数，故选：B ．讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论。

教学建议：牢记二次函数的定义即可。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：普陀区一模 年份：2019【例题2】若y=m m x m m +-2)(2是二次函数，则m 等于（ ）。

A ．﹣2B ．2C ．1D ．1或﹣2 【答案】A【解析】本题考查了二次函数的定义，由题意得，m 2+m=2且m 2﹣m≠0，解得m 1=1，m 2=﹣2且m≠0，m≠1，②m=﹣2．故选：A ．讲解用时：3分钟解题思路：根据二次函数的定义，指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可。

教学建议：注意二次项系数不能等于0难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：虎林市校级期中 年份：2019秋【练习2】若y=1222)(--+m m x m m 是关于x 的二次函数，则m= 。

【答案】3【解析】本题考查了二次函数的定义，由题意，得m 2﹣2m ﹣1=2，且m 2+m≠0，解得m=3。

讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义求解即可。

教学建议：注意二次项的系数不等于零。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：长汀县月考 年份：2019秋【例题3】已知二次函数的图像经过点（0，2）、（1，1）、（3，5），求这个函数关系式。

【答案】222y x x =-+【解析】本题考查了待定系数法求二次函数一般式，设函数解析式为()20y ax bx c a =++≠，函数经过点（0，2），（1，1），（3，5），依题意可得：93512a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即得二次函数解析式为222y x x =-+． 讲解用时：3分钟解题思路：通过设出二次函数一般式，利用待定系数法转化为求三元一次方程组。

教学建议：设出二次函数一般式。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习3】已知一个二次函数的图象经过A （0，-3），B （1，0），C （m ，2m+3），D （-1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C 的坐标。

【答案】y=2x 2+x ﹣3，C （23-，0）或（2，7）。

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ， 把A （0，﹣3），B （1，0），D （﹣1，﹣2）代入得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=203c b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-===312c b a ，②抛物线的解析式为y=2x 2+x ﹣3，把C （m ，2m+3）代入得2m 2+m ﹣3=2m+3，解得m 1=23-，m 2=2， ②C 点坐标为（23-，0）或（2，7）。

讲解用时：8分钟解题思路：设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入，然后解三元一次方程组即可得到抛物线的解析式，再把C（m，2m+3）代入解析式得到关于m 的方程，解关于m的方程可确定C点坐标。

教学建议：根据给出的各点坐标设出一般式，代点求参数即可。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：普陀区一模年份：2019【例题4】将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）。

A．y=（x﹣6）2+5B．y=（x﹣3）2+5C．y=（x﹣3）2﹣4D．y=（x+3）2﹣9【答案】C【解析】本题考查的配方法将一般式化成顶点式，y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=（x﹣3）2﹣4，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：运用配方法把一般式化为顶点式即可。

教学建议：熟练掌握一般式配方成顶点式的过程。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：资中县一模年份：2019【练习4】抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是。

【答案】y=﹣2x2+8x﹣5【解析】本题考查了待定系数法求二次函数顶点式，②抛物线的顶点为（2，3），②设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，②经过点（3，1），②代入得：1=a（3﹣2）2+3，解得：a=﹣2，即y=﹣2（x﹣2）2+3=﹣2x2+8x﹣5．讲解用时：3分钟解题思路：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，把点（3，1）代入得出1=a （3﹣2）2+3，求出a即可。

教学建议：注意抛物线顶点式的设法。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：凉州区校级月考年份：2019秋【例题5】已知二次函数2-）=++的图像经过点M（1-，0）、N（4，0）、P（1，12y ax bx c三点，求这个二次函数的解析式。

【答案】2268y x x=--【解析】本题考查了根据二次函数交点式求二次函数解析式，②二次函数的图像经过点M （1-，0）、N （4，0），∴设二次函数解析式为(1)(4)y a x x =+-，把P （1，12-）代入，可得2a =， ∴这个二次函数的解析式为：2268y x x =--．讲解用时：3分钟解题思路：根据M 、N 两点坐标特征设出)4)(1(-+=x x a y ，代入P 点坐标求出a 的值即可。

教学建议：注意抛物线交点式的设法。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习5】抛物线图像经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这抛物线的解析式。

【答案】21312y x x =-++【解析】本题考查了根据坐标特征求二次函数解析式，②抛物线2y ax bx c =++经过（0，3）、（12，3），②对称轴为直线6x =， ②顶点的纵坐标为6，②顶点坐标为(6,6)，②设二次函数解析式为2(6)6y a x =-+， ②把（0，3）代入，可得112a =-，所以抛物线的解析式为：21312y x x =-++． 讲解用时：5分钟解题思路：抛物线经过（0，3）、（12，3），得出对称轴为直线x=6，则顶点坐标（6，6），因而可以设出顶点式，代入其他坐标求出a即可。

教学建议：本题的关键在于顶点坐标的表示，可根据学生基础选讲。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2019【例题6】已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【答案】（1）m=0；（2）当m≠0且m≠1【解析】本题考查了一次函数与二次函数的定义，（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0，解得m=0或m=1，又②m﹣1≠0即m≠1；②当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1，②当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．讲解用时：5分钟解题思路：根据一次函数与二次函数的定义求解教学建议：熟练掌握一次函数与二次函数的定义。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：夏津县校级自主招生年份：2019【练习6】已知()()212232m x m x m m y m m +-+-=--是x 的二次函数，求出它的解析式。

【答案】y=6x 2+9或y=2x 2﹣4x+1【解析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得：m 2﹣2m ﹣1=2，且m 2﹣m≠0， 解得，m=3或m=﹣1，当m=3时，y=6x 2+9；当m=﹣1时，y=2x 2﹣4x+1；综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x 2+9或y=2x 2﹣4x+1． 讲解用时：5分钟解题思路：根据二次函数的定义列出等式求解即可。

教学建议：注意二次项系数不为0。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：南江县校级期中年份：2019秋 【例题7】已知二次函数y=2x 2﹣8x+6，（1）把它化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为： ；（2）直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ；（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标。