速度关联类问题求解·速度的合成与分解●难点1.（★★★）如图5-1 所示，A、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若 A 车以速度v0 向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？2.★★★★如图5-2 所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体图5-1上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v0 向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？●案例探究［例1］★★★如图5-3 所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？图5-2 错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4 所示分解，从而得出错解v 物=v1= v cosθ.解题方法与技巧：解法一:应用微元法设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BC，如图5-5 所示.过C 点作CD ⊥AB，当图5-3 Δt→0 时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC= AD，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs2= BD，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC=BDcos①由速度的定义：物体移动的速度为v 物=s1tB Ct②图5-4人拉绳子的速度v= s2tBDt③由①②③解之：v 物=vcos图5-5 解法二:应用合运动与分运动的关系绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v 物按如图5-6 所示进行分解.其中:v= v 物cosθ，使绳子收缩.⊥=vv物sinθ,使绳子绕定滑轮上的 A 点转动.v所以v 物=cos解法三：应用能量转化及守恒定律图5-6由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为P1= Fv；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2=Fv 物cosθ，因为P1=P2 所以v物=v cos第 1 页共 4 页图5-7［例2］（★★★★★）一根长为L 的杆OA，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h 的物块上，如图5-7 所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球 A 的线速度v A（此时杆与水平方向夹角为θ）.错解分析：①不能恰当选取连结点 B 来分析，题目无法切入.②无法判断 B 点参与的分运动方向.解题方法与技巧：选取物与棒接触点 B 为连结点.（不直接选 A 点，因为 A 点与物块速度的v 的关系不明显）.因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故 B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v1 和绕O 点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2= vsinθ.设此时OB 长度为a，则a=h/sinθ.2令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=vsin θ/h.2 故A 的线速度vA=ωL =vL sin θ/h.●锦囊妙计一、分运动与合运动的关系s 分）互不干扰，即：独立性. 1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、3.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.4.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.二、处理速度分解的思路1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.●歼灭难点训练一、选择题图5-81.（★★★）如图5-8 所示，物体 A 置于水平面上， A 前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在 C 点，再绕过B、D.BC 段水平，当以速度v0 拉绳子自由端时， A 沿水平面前进，求：当跨过 B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v.2.（★★★★★）如图5-9 所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时， B 球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时 A 球速度和加速度大小.图5-9 图5—103.（★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1 连接，另第 2 页共 4 页图5-11一端和套在竖直光滑杆上的物体m2 连接.已知定滑轮到杆的距离为 3 m.物体m2 由静止从AB 连线为水平位置开始下滑 1 m 时，m1、m2 恰受力平衡如图5-10 所示.试求：（1）m2 在下滑过程中的最大速度.（2）m2 沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4（. ★★★★）如图5-11 所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M 上的光线，已知SO= L，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12 所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在 A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从 A 经B 驶向 C.设A 到B图5-12的距离也为H，车过 B 点时的速度为v B.求在车由 A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.6.（★★★★★）如图5-13 所示，斜劈 B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球 A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中（1）斜劈的最大速度.图5-13 （2）球触地后弹起的最大高度。

（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）参考答案：［难点］cos5.v B= 0v 2.略cos［歼灭难点训练］4.v =1 v 0 cos5.v A=v B tanα;a A=a B tanα6.（1）由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2 在C 点受力恰好平衡，因此m2 从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m2 的最大速度即出现在图示位置.对m1、m2 组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE 增=ΔE减，即1 1m1v1 m22+ 2v2+m1g（A C -A B ）sin30°=m2g·B C2 2又由图示位置m1、m2 受力平衡，应有：Tcos∠ACB= m2g,T=m1gsin30°又由速度分解知识知v1=v2cos∠ACB，代入数值可解得v2=2.15 m/s,（2）m2 下滑距离最大时m1、m2 速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得：增′= EΔ减′ΔE2 2 ）sin30°=m即:m1g（H AB AB2gH图利用（1）中质量关系可求得m2 下滑的最大距离H=433m=2.31 m7.由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS′=60°，OS′=L /cos60°.选取光点S′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动. 速度v1 和绕O 点转动，线速度v2；因此将这个合速度沿光线OS′及垂直于光线OS′的两个方向分解，由速度矢量分解图5′—1 可得：v1= vsin60°,v2= vcos60°又由圆周运动知识可得：当线OS′绕O 转动角速度为2ω. 则：v2=2ωL/cos60°图5′—2第 3 页共 4 页vcos60°=2ωL /cos60°,v=8ωL.5.以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到 B 点时，重物获得一定的上升速度v Q，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图5′-2，即v Q=v B1=v B cos45°=22v B1 1于是重物的动能增为E k2 =mv Q mv B2= 2 24在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T、重力mg，物体上升的高度和重力做的功分别为h= 2 H-H= （ 2 -1）HW G=- m gh=- m g（ 2 -1）H 于是由动能定理得W T+W G=ΔE k=E k2-E k1即WT-mg（ 2 -1）H=142mv B -0所以绳子拉力对物体做功W T=14 mv B2+ m g（ 2 -1）H2+ m g（ 2 -1）H6.（1）A 加速下落，B 加速后退，当 A 落地时，B 速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.mg（h- r）= 2 mv A2+ 2 mv B2 ①由图中几何知识知：h=cot30°·r= 3r ②A、 B 的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图5′—3 所示。

图5′—3由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以v A2=v B2即v A cos30°=v B sin30°③解得v A= ( 3 1) gr23( 3 1) grv B=2（2）A 球落地后反弹速度v A′=v A2做竖直上抛运动的最大高度：H m= v A2g( 3 1)r4第 4 页共 4 页。