R3
R2
U 1
.
U
2

1 R12C 2
1
R9 R6
R8 R7


1

R
8
R7
U
2

R9 R6
U 1U 3
10

.
U3

1 R17C 3
1
R16 R13
R15 R14


1

R15
R14
U 3
R16 R13
• 比例压缩变换法重新调整了原系统方程，令x=10u，y=10v，z=10w。化成
u 35(v u), v 7u 10uw 28v, w 10uv 3w,
这里的状态变量做了10倍的缩小变换，调整后的系统（2）与原系统（1）等价，并不
改变系统的物理性质。由于乘法器AD633的增益为0.1， 因此，从图3得到的电路方程
现对该系统写成：
.
X 36( y x)
.
Y xz 20 y
.
Z xy 3z
为确保系统输出电压在运放、乘法器的电源提供电压范围内，变换变量成U1＝x/10， U2＝y/10，U3＝z/10。则有此时系统方程为：
.
U 1 36 U 2 U 1
.
U
2

100

1 5
• 文氏桥蔡氏氏电路的混沌图像：
4.洛仑兹混沌电路
对于一个洛仑兹混沌电路，可以将其写成：
.
X 10( y x)
.
Y 28x xz y
.
Z

xy

8
z
3
为确保系统输出电压在运放、乘法器的
电源提供电压范围内，将上式变量变换
成U1＝x/10，U2＝y/10，U3＝z/10。
则有：
.
如下：
dx

dtຫໍສະໝຸດ 1 R4C1 R3 R6 R1R5
x
R3 R2
y,

dy

dt

1 R11C2

R6 R10 R5 R7
x R6R10 10 R5 R8
xz
R10 R9
y,


dz
dt

1 R15C3

R14 10R12
xy
R14 R17 R13 R16
z,
我们给出了电路方程参数：
R3, R5 , R6 , R10 , R14 , R16 , R17 10K, R4 , R11, R15 100K, R1, R2 2.85K,
R8, R12 1K, R7 14.28K, R9 3.57K, R13 33.33K, C1, C2, C3 1F
U3相连，则构成系统电路。此时，系统方程如下，并得出电路图
.
U1

1 R5C1
1
R4 R1
R3 R2


1

R3
R2
U
2

R4 R1
U
1
.
U2

1 R13C 2
R9 R8 R9

R10 R7

R10 R6
1U1
R10 R7
x& a( y x),

y&
(c

a)x

xz

cy
z& xy bz
其中参数取值为a=35，b=3，c=28。采用Matlab进行数值仿真，用三阶Runge-Kutta法 求解微分方程。选取初始值x(0)=0.01,y(0)=0.1,z(0)=0.11。步长取0.001。计算机模拟 相图如图所示。
U 1 10U 2 U 1
.
U
2

100

28 100
U
1

U 1U 10
3

U2 100

.
U
3

100

U 1U 10
2

8 300
U
3

现在对上式构建电路。采用运放加减法、 积分电路，反相器，乘法器。
• 连接各项电路，即各项电路的输入端U1、U2、U3分别与积分电路输出端的U1、U2、
.
Z

xy


a
8 3

z
其中参数α ∈[0,1]。统一混沌系统实质上是把Lorenz 系统和新近发现的Chen 系统和Lü 系统写成了统一的描述形式，它具有如下特性：
1）对所有的α ∈[0,1]，系统（1）均表现为混沌行为，且比其他的混沌系统结构更加复 杂；
2）当α 由0 逐渐增加到1 时，系统（1）也有Lorenz 系统经Lü 系统逐渐过渡到Chen 系 统；
U 1U 2
10

Lü混沌电路原理图
Lü混沌电路波形
7.统一混沌电路
由于洛仑兹、Lü以及Chen不论是系统微分式上还是波形上都存在很多类 似的特征，统一混沌系统将三者联系在一起
.
对于一个统一混沌电路，可以将其写成： X 25a 10 y x
.
Y 28 35a x xz 29a 1 y
混沌图像加密
——混沌系统类型与加密算法
各种类型的混沌系统
1.典型蔡氏混沌电路
2. 采用里奥登电感的蔡氏电路
本变形主要是改变Chua氏电路的电感部分，使用模拟电感代替原有 的电感。
完整电路：
• 里奥登电感实现电路
混沌图像：
3.文氏桥蔡氏氏电路
采用RC文氏桥进行驱动，去除原CHUA氏电路的电感部分
U 1U 3 10

R10 R6
U
2

.
U
3
1 R18C 3
R17

R14
U 1U 2 10
1
R17 R14


1
R16 R15 R16 R15
U
3
洛伦兹混沌电路的混沌图像
5. Chen氏混沌电路
• Chen氏混沌系统的无量纲状态方程如下：
• Chen氏混沌电路电路图
Chen氏混沌电路混沌图像
(a)x-y相平面图
(b)x-z相平面图 (c)y-z相平面图
6. Lü混沌电路
Lü系统方程描述如下：
.
X a(y x)
.
Y xz cy
.
Z xy bz
当a=36,b=3,c=20时，最大Lyapunov 指数为1.544030424＞0，系统处于混沌状态。
3）当α ∈[0,0.8)时，系统（1）属于广义Lorenz 系统；α ∈(0.8,1]时，系统（1）属于 广义Chen 系统；当α = 0.8时，系统（1）属于Lü 系统。三种系统具有不同的拓扑结构。
U
2

U 1U 10
3

.
U
3

100

U 1U 10
2

3 100
U
3

• 采用运放基本加减电路、积分器、反相器、乘法器构建电路。连接各项电路，则得系统
电路。
此时，系统方程如下：
.
U1
1 R5C1

R4 R1
U
2
1
R4 R1
R3 R2


1