大学概率论习题六详解（A ）1、设n X X X ,,,21 是取自总体),2(~p B X 的样本，其中10<<p ，求：（1）∑=ni iX1的分布列、期望与方差；（2）1X 与2X 的联合分布列。

解 （1）因为),2(~p B X i ，n i ,,2,1 =且独立，则∑=ni iX1的分布是),2(p n B ，期望为np X E ni i 2)(1=∑=，方差为)1(2)(1p np X D ni i -=∑=。

（2）因为),2(~p B X i ，2,1=i 且独立，则1X 与2X 的联合分布列为)()(),(2121y X P x X P y X x X P =====y x y x y x p p C C --+-=422)1(其中2,1,0,=y x2、设321,,X X X 是取自总体),(~2σμN X 的样本，其中μ、σ为参数，求：（1）样本321,,X X X 的联合分布密度；（2）样本均值的期望、方差与标准差。

解 （1）因为),(~2σμN X i ，3,2,1=i 且独立，则样本1X ，2X ，3X 的联合分布密度为]})()()[(21ex p{)2(1),,(22223μμμσσπ-+-+--=z y x z y x p （2）μ=)(X E ，3)(2σ=X D ，3)()(σσ==X D X 。

3、设某地两个调查员，分别在该地东部与西部调查职工的月收入。

调查员甲在东部随机调查了200位职工，得样本均值为800元，样本标准差为200元；调查员乙在西部随机调查了180位职工，得样本均值为620元，样本标准差为150元。

现将这两个样本看成一个容量为380的样本，求样本均值与样本标准差。

解 设调查员甲调查的样本容量为200=n ，样本均值为800=x ，样本标准差为200=x S ，样本方差为22200=x S 。

调查员乙调查的样本容量为180=m ，样本均值为620=y ，样本标准差为150=y S ，样本方差为22150=y S 。

如果将甲、乙调查员调查的职工月收入合为一个样本，则该样本的样本容量为380180200=+=+m n ，其样本均值为74.714)620180800200(3801)(1=⨯+⨯=++=y m x n m n z 样本方差为])()()1()1[(1122222z y m z x n S m S n m n S y x -+-+-+--+=])()()()1()1[(1122222mn y m x n y m x n S m S n m n y x ++-++-+--+= 222800200150179200199[3791⨯+⨯+⨯=]380)620180800200(62018022⨯+⨯-⨯+ 16.39728=所以，该样本的标准差为：32.199=S 。

4、设1021,,,X X X 是取自总体),1(~p B X 的样本，其中10<<p ，且p 未知，指出以下样本的函数中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？（1）∑==101110i iX T ；（2）)(1102X E X T -= （3）p X T -=3；（4）},,,m ax {10214X X X T =解 （1）、（4）是统计量，因为它们是样本的函数且不含未知参数p ；而（2）、（3）不是统计量，因为它们虽然是样本的函数，但含未知参数p 。

5、从总体)3.6,52(~2N X 中随机抽取了一个容量为36的样本，求样本均值X 落在区间[50.8，53.8]内的概率。

解 因为总体)3.6,52(~2N X ，所以()205.1,52~N X ，故()⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤≤05.1528.5005.1528.538.538.50X P8293.0=6、设总体)5.0,(~2μN X ，样本n X X X ,,,21 取自总体X 。

如果要以95.4%的概率保证1.0<-μX 成立，那么样本容量n 应取多大？解 由于总体()25.0,~μN X ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nN X 25.0,~μ，由于 因为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=<-n n X P /5.01.0/5.01.01.0μ954.01/5.01.02≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=n即要求977.0/5.01.0≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φn利用标准正态分布表，确定0.977的分位数为2.00，故00.2/5.01.0≥n解得200≥n ，所以样本容量n 应取200=n 。

7、设有一枚均匀的硬币，以X 表示“抛一次硬币正面朝上的次数”，试问要抛多少次才能使样本均值X 落在区间[0.4，0.6]内的概率不少于0.9？解 因为)5.0,1(~B X ，在n 充分大时，由中心极限定理，可以近似认为()n N X /25.0,5.0~，则要求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈<<n n X P /5.05.04.0/5.05.06.05.04.09.01/5.01.02≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=n即要求()95.02.0/5.01.0≥Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φn n由正态分布表查得645.12.0≥n ，解得,65.67≥n 即至少应抛68次。

8、 设随机变量21Y Y X 和，相互独立且都服从标准正态分布，求随机变量22212Y Y X Z +=的概率分布．解 由条件知21Y Y X 和，相互独立且都服从标准正态分布．随机变量22212Y Y +=χ作为两个独立标准正态随机变量的平方和，服从自由度为2的2χ分布．因为2222221χXY Y X Z =+=，其中（1）)10(~，N X ，（2）2χ服从自由度为2的2χ分布，（3）X 和22212Y Y +=χ相互独立，所以由服从t 分布的随机变量的典型模式知，随机变量Z 服从自由度为2的t 分布．9、在所调查的100绘出家庭中拥有电脑频率的线条图。

解 设X 表示城市每户家庭拥有的电脑数，则被调查家庭中拥有电脑数的频率分布表为则家庭中拥有电脑频率的线条图为10、一组工人完成某一装配工序所需的时间（分）分别如下：35 38 44 33 44 43 48 40 45 30 45 32 42 39 49 37 45 37 36 42 35 41 45 46 34 30 43 37 44 49 36 46 32 36 37 37 45 36 46 42 38 43 34 38 47 35 29 41 40 41 求：（1）样本均值、样本方差与标准差；(2) 作出样本频率直方图及其累积频率直方图。

解 （1）74.39501501==∑=i i x x ，62.1361)(5012=-=∑=i i x x Q ， 78816.271502=-=QS ，27145.578816.272===S S 。

(2) 以27为第一组的左端点，组距定为3区间],(1i i a a - 频数i n 频率i f 频率各组高i h累计频率i F （27，30] （30，33] （33，36] （36，39] （39，42] （42，45] （45，48] （48，51]3 3 9 9 8 11 5 20.06 0.06 0.18 0.18 0.16 0.22 0.10 0.040.02 0.02 0.06 0.06 0.053 0.073 0.033 0.0130.06 0.12 0.30 0.48 0.64 0.86 0.96 1.00作出样本累积频率直方图为：11、某商店100天电冰箱的日销售情况有如下统计数据求经验分布函数)(x F n ，样本均值X ，样本方差2S 。

解 易见()()．；；；9470.1991009275.175.16156303202100185.3156303202100120222202222≈==-==⨯++⨯+⨯==⨯++⨯+⨯=S S X X S X X由所给统计数据，容易写出经验分布函数：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=61 6585.05460.04350.03220.02 0 )(x x x x x x x F n ，，，，，，　12、某电子元件寿命X 服从参数为0015.0=λ的指数分布，其分布函数为x e x F λ--=1)( 0>x如今从中抽取6个电子元件测其寿命，获得容量为6的样本621,,,X X X ，求下列事件的概率：（1）“到800小时没有一个元件失效”；（2）“到3000小时所有元件都失效”。

解 指数分布的函数是0,1)(>-=-x ex F xλ，这里0015.0=λ。

（1）令()),,,min(6211X X X X =，则其分布函数为[]xe x F x F λ6611)(11)(--=--=)800()800),,(min()1(621>=>X P X X X P0007466.0)800(18000015.061==-=⨯⨯-e F所以，“到800小时没有一个元件失效” 的概率为0.0007466。

（2）令()()6216,,,max X X X X =，则其分布函数为： ()()[]()6661x ex F x F λ--==()()()()()300030003000,,,max 66621F X P X X X P =<=<()93517.01630000015.0=-=⨯e所以，“到3000小时所有元件都失效” 的概率为0.93517。

（B ）1、设n x 与2n S 分别是容量为n 的样本均值与样本修正方差，如今又获得了一个样本观察值1+n x ，那么将它加入到原来的样本中，便得到容量为1+n 的样本，证明：111++=++n x x n x n n n ，21221)(111n n n n x x n S n n S -++-=++证n ni ix n x=∑=1，∑+=++=111n i n n i x x n x故其样本均值为111++=++n x x n x n n n 。

()∑=+-=ni nnix n s n x12221，()21112221++=++-=∑n n i n n i x x n s n x因此该样本方差为()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++-=+++212122211111n n n n n n x x n n x x n s n n s ()212111n n n x x n s n n -++-=+ 2、设n X X X ,,,21 是取自总体),(~2σμN X 的样本，2S 是样本方差。

求)(2S E ，)(2S D 。