数字图像处理中的图像变换
线性系统
系统的定义:接受一个 输入,并产生相应输出 的任何实体,系统的输 入是一个或两个变量的 函数,输出是相同变量 的函数
x(t ) 输入 系统 输出 y(t)
线性系统的定义:对于某特定系统 有:
x1(t)->y1(t) x2(t)->y2(t) 该系统是线性的,当且仅当:
傅立叶级数:非正弦周期函数
为了研究非正弦周期函数,可以将周期为T=2π/ ω的周期 函数用一系列以T为周期的正弦函数的级数来表示,记为:
fT (t ) A0 An sin(nt n)
n 1
其中A0,An, φn 是常数,n=1,2,3……
这样就可以把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频 率的简谐振动的叠加
傅立叶级数
狄利克雷(Dirichlet)条件
设f(x)是周期为2π的周期函数,如果它满足:
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; (2)在一个周期内至多只有有限个极值点, 则f(x)的傅立叶级数收敛,并且
当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时,级数收敛于1/2[f(x-0)+f(x+0)].
二维线性位移不变系统
如果对二维函数施加运算T[· ,满足 ]
T f x, y T [ f x, y ] T f1 x, y f 2 x, y T f1 x, y T f 2 x, y
F (u) f ( x)e j 2ux dx 可以展开成
这里f(x)是实函数,它的 实部: f(x)cos(2 πux)dx R(u) 傅立叶变换F(u)通常是复 - 函数。F(u)的实部、虚部、 虚部 : I(u) f(x)sin(2 πux)dx 振幅、能量和相位分别表 振幅 :|F(u)| [R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2 示如右。其中振幅又称振 幅谱,或傅立叶谱、或称 能量 : E(u)| F(u) |2 R 2 (u) I 2 (u) 频谱。频谱的平方称能量 I(u) 相位 : φ(u) arctan| | 谱 R(u)
n - c en源自nt.iT 2
T 2
fT (t )e jnt dt
可见,傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组 成及其所占的比重,从而有利于对信号进行分析与处理
一维连续函数的傅立叶变换
令f(x)为实变量x的连续 函数,f(x) 的傅立叶变 换用F(u)表示,则定义 式为:
互相关函数
给定两个函数f(t)和g(t),它们的互相关函数定义为:
Rfg( ) f (t ) * g (t ) f (t ) g (t )dt
互相关函数可以反映两个函数在不同的相对位置 上互相匹配的程度
如果g(t)是点扩散函数h(t),那么输出为输入图像和 点扩散函数的互相关函数。
傅立叶级数
三角函数系的正交性
即:sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…在区 间[-π,π]上正交,就是指在三角函数系中任何两个 函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零。
傅立叶级数
如周期函数可展成三角级数
a0 f ( x ) (an cosnx bn sin nx) 2 n 1
F(u)
1 N
f(x)e
x 0
F (u) f ( x)e j 2ux dx
若已知F(u),则傅立叶反变换为:
f ( x) F (u )e
j 2ux
du
上两个式子称为傅立叶变换对
傅立叶变换
根据欧拉公式
e j 2ux cos2ux j sin 2ux
F(u) f ( x) cos(2ux)dx j f ( x) sin(2ux)dx
傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量
傅立叶变换
傅立叶变换的目的
傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转 换关系,把空间域中的问题转换到频率域中求解。 求一个函数的傅立叶变换就是求它的频谱,即求它 的各频率分量及分量所占的比重
通常称傅立叶变换前变量变化的空间为空间域, 而称傅立叶变换后变量变化的空间为频率域
y(t)= yx(t)+ yf(t)
单位冲激响应:LTI系统,系统的初始状态为 零时,由输入单位冲激信号δ (t)所引起的单位 冲激响应h(t),它与零输入响应具有相同的函 数形式
卷积定义
对于一个线性时不变系统的输入f(t)和输出y(t),其间必 定存在关系:
y(t ) f (t ) * h(t )
当输入的单位脉冲函数延迟了α、β单位,即当输入为δ(xα,y–β)时,如果输出为h(x–α, y–β),则称此系统为位移不变 系统。
点扩散函数与二维线性位移不变系统
对于一个二维线性位移不变系统,如果输入为f(x,y),输出为 g(x,y),系统加于输入的线性运算为T[ • ],则有
g ( x, y ) T f ( x, y ) T f ( , ) ( x , y )dd
当α=β=0时
f (0,0)
f ( x, y) ( x, y)dxdy
位移性
δ函数的另一个重要特性就是位移性。即使用δ函数与另一个 输入函数作卷积,输出仅依赖于影响和被影响变量之间的相对 位置,而与实际位置不相关
用卷积符号 * 表示为
f ( x, y) f ( x, y) ( x, y)
T af x, y aT f x, y
则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统,称为二维 线性系统。
LTI系统的零输入响应和零状态响应
零输入响应:激励为零时,仅由系统的初始状 态{x(0)}所引起的响应yx(t); 零状态响应:系统的初始状态为零时,仅有输 入信号f(t)所引起的响应yf(t) LTI系统的完全响应为
第三讲 图像变换
刘春国 河南理工大学 测绘与国土信息工程学院
图像与图像变换
图像的表示
空间域 频率域 图像由像素组成,像素在图像空间中按某种规律排 列的,图像在空间域上具有很强的相关性。
将图像看成是线性叠加系统
图像变换是将图像从空间域变换到其它域如频 率域的数学变换 图像变换的目的在于:
傅立叶级数
一个周期为T的函数f(t)在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷 (Dirichlet)条件,则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数
a0 fT( t ) (an cosnt bn sin nt ) 2 n 1
其复数形式为: cn为:
fT( t )
1 cn T
那么离散序列f(x)可以表示为f(x)=f(x0+iΔ x),其中i取离散值 0,1,2,3,…,n-1。即用序列{f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}代替{f(x0), f(x0+△x),…,f[x0+(N-1)△x]}。
一维离散函数的傅立叶变换
连续函数f(x)经离散采样 后,形成一函数序列 f(x)= f(x0+xΔx),仿照一 维连续函数的傅立叶变 换可以给出离散函数的 傅立叶变换定义为右上 式: 傅立叶反变换为:
当该级数可逐项积分,且f(x)的系数a0,an,bn都存 在,可求其系数:
2 T an 2T f ( x) cos nxdx (n 0,1,2,3,...) T 2 2 T bn 2T f ( x) sin nxdx (n 1,2,3,...) T 2
那么函数f(x)的三角级数称为函数f(x)的傅立叶级数
二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为 |F(u,v)∣=[R2(u,v)+I2 (u,v)]1/2 φ(u,v)=tan-1 [I(u,v)/R(u,v)] E(u,v)=R2(u,v)+I2(u,v)
离散函数的傅立叶变换
假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离 散化为一个序列{f(x0),f(x0+△x),…,f[x0+(N-1)△x]}, 如图所示。
①使图像处理问题简化; ②有利于图像特征提取; ③有助于从概念上增强对图像信息的理解。
图像变换概述
图像变换通常是一种二维正交变换。
一般要求正交变换:
①正交变换必须是可逆的; ②正变换和反变换的算法不能太复杂;
图像正交变换
③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分 布在低频率成分上,边缘、线状信息反映在高频率 成分上。 借助于正交变换的特性可使得在空间域上的复杂计 算转换到频率域后得到简化,更有利于获得图像的 各种特性和进行特殊处理
f ( )h(t )d
h(t)称为线性系统的单位冲激响应函数,其含义为:当线性系 统输入f(t)为单位脉冲函数时,线性系统的输出响应
上式称之为卷积积分,两个函数的卷积运算是将一个 函数反折平移后与另一个函数相乘,并计算积函数的 积分
卷积过程
卷积过程
狄拉克函数
( x, y) 0
线性
f ( , )T x , y dd
移不变
f , hx , y dd