第2课时 二次函数、二次方程及简单的一元二次不等式
学习目标 理解和掌握二次函数的图象和性质，理解和掌握一元二次方程的相关知识并能熟练解出一元二次方程，借助于二次函数的图象会解简单一元二次不等式.
知识点一 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，用配方法将其变形为
⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2
－4ac 4a 2
. (1)当
b 2－4a
c >0
时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：x 1,2＝－b ±b 2－4ac
2a
；
(2)当b 2－4ac ＝0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x 1,2＝－b
2a ；
(3)当b 2－4ac <0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.
由于可以用b 2－4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，表示为Δ＝b 2－4ac . 知识点二 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，
所以：x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac
2a
＝－b
a ，x 1x 2＝－
b ＋b 2－4a
c 2a ·－b －b 2－4ac 2a
＝(－b )2－(b 2－4ac )2(2a )2
＝4ac 4a 2＝c a .
一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”.
定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a .
知识点三 二次函数的图象与性质 仅讨论y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的情况： 1.x 的取值范围为一切实数. 2.y 的取值范围为⎣⎡⎭
⎫4ac －b 24a ，＋∞
当x ＝－b
2a 时，y 取得最小值4ac －b 24a .
3.二次函数的三种表达方式： ⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝ax 2＋bx ＋c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2)；y ＝a (x －h )2＋k .
4.对称轴x ＝－b 2a (图象关于x ＝－b
2a 对称).
5.(1)当x 1<x 2≤－b
2a 时，则y 1>y 2.
(2)当x 2>x 1≥－b
2a
时，则y 1<y 2.
6.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系列表如下：
有相异两实根x b 2－4ac
2a
(x 有相等两实根x b
没有实根
1.方程ax 2＋bx ＋c ＝0如果有实数根，则Δ＝b 2－4ac ≥0.( × )
2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x ＝－b
2a
时取得最值.( √ )
3.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等实数根，则ax 2＋bx ＋c >0的范围为x >x 2或x <x 1.( × )
突破一 一元二次方程的相关知识的应用
例1 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值.
跟踪训练1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， (1)求|x 1－x 2|的值； (2)求1x 21＋1
x 22
的值；
(3)x 31＋x 3
2.
突破二 二次函数的图象与性质
例2 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值.
跟踪训练2 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大(或减小)？画出该函数的图象，并指出y >0时x 的取值范围.
突破三 一元二次不等式的解法 例3 求不等式4x 2－4x ＋1>0的解.
跟踪训练3 求不等式－3x 2＋6x >2的解.
1.不等式9x 2－6x ＋1≤0的解为( ) A.全体实数 B.无解 C.x ≠13
D.x ＝1
3
2.不等式－4x 2＋4x <－15的解为( ) A.－32<x <52
B.－52<x <32
C.x >52或x <－32
D.x >32或x <－52
3.函数y ＝x 2－2x ，当－1≤x ≤t 时，该函数的最大值为3，则t 的最大值为__________.
4.方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，若|x 1－x 2|＝
5.则a ＝________.
5.不等式ax 2＋bx ＋1>0的解为－12<x <1
3，则a ＋b ＝________.
一、选择题
1.若关于x 的方程(a ＋1)x 2－3x －2＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是( ) A.a ≠0 B.a ≠－1 C.a ＞－1 D.a ＜－1
2.若一元二次方程x 2－2x ＋1－a ＝0无实根，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＞0 C.a ＜3
4
D.a ＞34
3.若m ，n 是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则m ＋n －mn 的值是( ) A.－3 B.3 C.－1 D.1
4.不等式2x 2－x －1>0的解是( ) A.－1
2＜x ＜1
B.x ＞1
C.x ＜1或x ＞2
D.x ＜－1
2
或x ＞1
5.关于二次函数y ＝－2x 2＋1，下列说法中正确的是( ) A.它的开口方向是向上
B.当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大
C.它的顶点坐标是(－2,1)
D.当x ＝0时，y 有最大值是2
6.若二次函数y＝x2－mx的对称轴是x＝－3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解是()
A.x1＝0，x2＝6
B.x1＝1，x2＝7
C.x1＝1，x2＝－7
D.x1＝－1，x2＝7
7.y＝ax2＋ax－1对于任意实数x都满足y＜0，则a的取值范围是()
A.a≤0
B.a＜－4
C.－4＜a＜0
D.－4＜a≤0
二、填空题
8.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解为1<x<2，则关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解为________________________________________________________________________.
9.函数y＝－x2＋1，当－1≤x≤2时，函数y的最小值是________.
10.不等式x2－5x＋6≤0的解为________________.
11.x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则代数式x21＋3x1＋x2＝________.
三、解答题
12.画出函数y＝2x2－4x－6的草图.
13.已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1＋x2|＝2x1x2，求k的值.
14.将抛物线y＝(x－1)2＋1向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为()
A.y＝(x－2)2＋1
B.y＝x2＋1
C.y＝(x＋1)2＋1
D.y＝(x－1)2
15.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.。