上海市浦东新区2014年中考预测数学试卷及答案2014.4.15（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列代数式中，属于单项式的是（A ）1+a ；（B ）a 2；（C ）a2； （D ）2a ． 2．数据1，3，7，1，3，3的平均数和标准差分别为（A ）2，2；（B ）2，4； （C ）3，2；（D ）3，4．3．已知抛物线2)1(+-=x y 上的两点)()(2211y x B y x A ，和，，如果121-<<x x ，那么下列结论一定成立的是（A ）021<<y y ； （B ）210y y <<；（C ）120y y <<；（D ）012<<y y ．4. 某粮食公司2013年生产大米总量为a 万吨，比2012年大米生产总量增加了10%，那么2012年大米生产总量为（A ）%)101(+a 万吨；（B ）%)101(+a万吨；（C ）%)101(-a 万吨； （D ）%)101(-a万吨．5．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，CBD ADB ∠=∠，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 （A ）CDB ABD ∠=∠；（B ）BCD DAB ∠=∠； （C ）CDA ABC ∠=∠；（D ）BCA DAC ∠=∠．6. 如果A 、B 分别是圆O 1、圆O 2上两个动点，当A 、B 两点之间距离最大时，那么这个最大距离被称为圆O 1、圆O 2的“远距”．已知，圆O 1的半径为1，圆O 2的半径为2，当两圆相交时，圆O 1、圆O 2的“远距”可能是 （A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：π-3= ▲ ．8. 化简：23410ab b a = ▲ ．9．计算：xx x ---2111= ▲ ． 10．正八边形的中心角等于 ▲ 度.11．如果关于x 的方程0332=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值为 ▲ ．12．请写出一个平面几何图形，使它满足“把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合”这一条件，这个图形可以是 ▲ ．13．如果关于x 的方程1+=x bx 有解，那么b 的取值范围为 ▲ ． 14. 在□ABCD 中，已知AC a =，DB b =，那么用向量a 、b表示向量AB 为 ▲ ．15. 把分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，字面朝下随意放置在桌面上，从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率是 ▲ ．16．为了解某校九年级女生1分钟仰卧起坐的次数，从中随机抽查了50名女生参加测试，被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是 ▲ ． 17．如图，已知点A 在反比例函数xky =的图像上，点B 在x 轴的正半轴上，且△OAB 是面积为3的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是 ▲ ．18．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，23cos =A ，如果将△ABC 绕着点C 旋转至△A'B'C 的位置，使点B' 落在∠ACB 的角平分线上，A'B' 与AC 相交于点H ，那么线段CH 的长等于 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：51555551212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--）（． 20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-，，x x x x 321334)1(372并把解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，∠P AQ =30°，在边AP 上顺次截取AB =3cm ，BC =10cm ，以BC 为直径作⊙O 交射线AQ 于E 、F 两点，求：（1）圆心O 到AQ 的距离； （2）线段EF 的长．（第21题图）（第17题图）（每组可含最小值，不含最大值）（第16题图）（第20题图）（第22题图）22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题3分）甲、乙两车都从A 地前往B 地，如图分别表示甲、乙两车离A 地的距离S （千米）与时间t （分钟）的函数关系.已知甲车出发10分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向B 地，最终甲、乙两车同时到达B 地，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？ （2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？ （3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？23．（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作BE AF ⊥,分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ． （1）求证：BE =BF ；（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分） 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=241与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C (0，-3)，且OA =2OC ．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M 的坐标； （2）求M AC ∠tan 的值；（3）如果点D 在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD =45º，求点D 的坐标.（第23题图）25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，BC 比AB 大3，54sin =B ，点G 是△ABC 的重心，AG 的延长线交边BC 于点D .过点G 的直线分别交边AB 于点P 、交射线AC 于点Q . （1）求AG 的长；（2）当∠APQ=90º时，直线PG 与边BC 相交于点M .求MQAQ的值； （3）当点Q 在边AC 上时，设BP =x ，AQ =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域.答案要点及评分标准一、选择题：1．D ； 2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．C ． 二、填空题：7．3-π； 8．ba 252；9．x1； 10．45； 11．6±； 12．圆等； 13．1≠b ；14．b a 2121+； 15．50%；16．0.62；17．xy 3-=； 18．13-． 三、解答题：19.解:原式5555555+=-+-……………………………………………………………（8分）5555155=-++-……………………………………………………………（1分）（第24题图）（第25题图）65=-…………………………………………………………………………（1分） 20.解:273(1)423133x x x x -<-⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，.由①得2733x x -<-…………………………………………………………………（1分）化简得105<x ,………………………………………………………………………（1分） 解得：2<x .…………………………………………………………………………（1分） 由②得4932x x +≥-,………………………………………………………………（1分） 化简得66x ≥-,………………………………………………………………………（1分） 解得：1-≥x .…………………………………………………………………………（1分） ∴原不等式组的解集为.21<≤-x …………………………………………………（2分）………………………………………………（2分）21.解：（1）过点O 做OH ⊥EF ,垂足为点H . ……………………………………………（1分） ∵OH ⊥EF ,∴∠AHO =90°,在Rt △AOH 中，∵∠AHO =90°，∠P AQ =30°，∴ OH =12AO ，…………………（2分） ∵BC =10cm ，∴ BO=5cm . ∵AO =AB +BO ，AB =3cm ，∴AO =3+5=8cm ，………………………………………………………………………（1分）∴OH =4cm ，即圆心O 到AQ 的距离为4cm ．………………………………………（1分） （2）联结OE ， 在Rt △EOH 中，∵ ∠EHO =90°，∴ 222EH HO EO +=，…………（1分）∵ EO =5cm ，OH =4cm ，∴ EH =3452222=-=-OH EO cm ，……………（2分） ∵ OH 过圆心O ,OH ⊥EF ， ∴ EF =2EH =6cm ．………………………………………（2分） 204153v ==甲（千米/分钟）， ∴ 甲车的速度是43千米每22.解：（1）分钟．…………（2分） 6017010v ==-乙（千米/分钟），∴ 乙车的速度是1千米每分钟．………………（2分）（2）解法①∵ 20120==乙t （分钟），∴乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇．……………（3分） 解法②设甲车离A 地的距离S 与时间t 的函数解析式为：S kt b =+（0k ≠） 将点（10,0）（70,60）代入得：100,7060.k b k b +=⎧⎨+=⎩………………………………………（1分） 解得：1,10.k b ==-⎧⎨⎩，即10.S t =-…………………………………………………………（1分）当y =20时，解得t =30，∵ 甲车出发10分钟后乙车才出发，∴ 30-10=20分钟，乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇．………………………（1分）① ②（3）∵ 440303t =÷=（分钟），………………………………………………… （1分） ∵ 70-30-15=25（分钟），∴ 甲车中途因故障停止行驶的时间为25分钟．…… （2分）23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =DA=BC=CD ， ∠BAD =∠ADF=∠BCF=90°,…………………………（1分） ∴∠BAH +∠HAE =90°，∵ AF ⊥BE ，∴ ∠AHB =90°即∠BAH +∠ABH =90°，∴∠ABH =∠HAE ，…………………………………………………………………（1分） 又∵∠BAE =∠ADF ,∴ △ABE ∽△DAF ，………………………………………………………………（1分） ∴DFAE DA AB =，∴AE =DF ．…………………………………………………………………………（1分） ∵ 点E 是边AD 的中点，∴点F 是边DC 的中点，∴ CF =AE ，…………………………………………………………………………（1分） 在Rt △ABE 与Rt △CBF 中, ,.AB CB AE CF =⎧⎨=⎩∴ Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴BE =BF ．…………………………………………………………………………（1分）（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴DB 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，…………………………………………（1分）在△DEO 与△DFO 中, ,,.ED FD ADB CDB DO DO ⎧⎪⎨⎪⎩=∠=∠= ∴△DEO ≌△DFO ，………………………………………………………………（2分）∴∠DEO =∠DFO ，………………………………………………………………（1分）∵△ABE ∽△DAF ，∴∠AEB =∠DF A ，……………………………………… （1分） ∴∠AEB =∠DEO ．………………………………………………………………（1分） 24.（1）解:∵C (0，-3)，∴OC =3.2134y x bx =+-……………………………………（1分） ∵OA =2OC ,∴OA =6. ∵041>=a ，点A 在点B 右侧，抛物线与y 轴交点C (0，-3). ∴)0,6(A .………………………………………………………………………（1分）∴2134y x x =--.……………………………………………………………（1分） ∴4)2(412--=x y ，∴)4,2(M . …………………………………………（1分）（2）过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为点H ，交AC 于点N ，过点N 作NE ⊥AM 于 点E ，垂足为点E .在Rt △AHM 中,HM =AH =4,42AM =,45AMH HAM ︒∠=∠=.求得直线AC 的表达式为132y x =-．………………（1分）∴N （2,-2）．∴MN =2.…………………………………（1分） 在Rt △MNE 中,∴2ME NE ==,∴32AE =.…………………………………………（1分） 在Rt △AEN 中,221tan 33NE MAC AE =∠==.………（1分） （3）①当D 点在AC 上方时，∵1145CAD D AH HAC ︒∠=∠+∠=, 又 ∵45HAM AC AM H C ︒∠=∠+∠=,∴1D AH CAM ∠=∠. ………………………………（1分） ∴1tan tan 13D AH AC M ∠=∠=. ∵点1D 在抛物线的对称轴直线x =2上, ∴1D H AH ⊥,∴4AH =.在Rt △AH 1D 中,1114tan 433D H AH D AH =⋅∠=⨯=. ∴14(2,)3D .……………………………………………（1分）②当D 点在AC 下方时，∵2245D AC D AM MAC ∠=∠+∠=︒，又 ∵2245AMH D AM AD M ∠=∠+∠==︒，∴2MAC AD M ∠=∠.……………………………………（1分）∴2tan tan 13AD H MAC ∠=∠= 在Rt △2D AH 中，221412tan 3AHD H AD H==÷=∠.∴2(2,12)D -.……………………………………………（1分） 综上所述：14(2,)3D ，2(2,12)D -.25.解：（1）在△ABC 中，∵AB =AC ，点G 是△ABC 的重心, ∴12BD DC BC ==，AD ⊥BC .……………………………………………………（1分）在Rt △ADB 中，∵4sin 5AD B AB ==,∴35BD AB =. ∵3BC AB -=, ∴AB =15，BC =18.∴AD =12.……………………………………………………………………………（1分） ∵G 是△ABC 的重心，∴283AG AD ==.………………………………………（1分）（2）在Rt △MDG ,∵∠GMD +∠MGD =90°， 同理:在Rt △MPB 中,∠GMD +∠B =90°,∴∠MGD =∠B .…………………………………（1分）∴4sin sin 5MGD B ∠==, 在Rt △MDG 中,∵143DG AD ==， ∴163DM =，∴113CM CD DM =-=……（1分）在△ABC 中，∵AB =AC ，AD ⊥BC ,∴BAD CAD ∠=∠.∵90QCM CDA DAC DAC ︒∠=∠+∠∠=+, 又 ∵90QGA APQ BAD BAD ︒∠=∠+∠∠=+, ∴QCM QGA ∠=∠,………………………………（1分） 又 ∵CQM GQA ∠=∠,∴△QCM ∽△QGA .………………………………（1分） ∴2411AQ AG MQ MC ==.……………………………（1分） （3）过点B 作BE AD ,过点C 作CF AD ,分别交直线PQ 于点E 、F ，则BEAD CF .…………………………………（1分）∵BE AD ,∴AP AG BP BE =,即158x x BE-=, ∴815xBE x=-.………………………………（1分）同理可得:AQ AG QC CF =,即815y y CF=-, ∴8(15)y CF y-=.……………………………（1分） ∵BEAD CF , BD CD =,∴EG FG =.∴2CF BE GD +=,即8(15)8815y xy x-+=-.（1分） ∴75510x y x-=-,15(0)2x ≤≤.…………………（2分）。