2x0+1，如图所示；
即 的取值范围是（﹣ ， ）
故答案为：（﹣ ， ）
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.
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17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且
∵F 为 AP 上一点，且满足 ＝ ，∴GF∥PC，
又 GF⊂平面 DEF，PC⊄平面 DEF， ∴PC∥平面 DEF． 解：（2）取 AB 的中点为 O，连结 DO，PO， ∵底面 ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°，∴DO⊥AB， ∵平面 PAB⊥平面 ABCD，∴DO⊥平面 PAB， ∵AP＝PB＝ AB，∴PO⊥AB，
以 OP，OB，OD 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
则 F（ ，﹣ ，0），B（0，1，0），D（0，0， ），E（0，
），
∴ ＝（0，
）， ＝（
，﹣ ），
设平面 DEF 的一个法向量 ＝（x，y，z），
则
，取 z＝ ，得 ＝（5，1， ），
平面 DEB 的一个法向量 ＝（1，0，0）， 设二面角 F﹣DE﹣B 的平面角为 θ，
A．2
B．
C．1
D．
【解答】解：设复数 z＝a+bi，a、b∈R，
则 ＝a﹣bi， ∴（z+1）（ ﹣1）＝z• ﹣z+ ﹣1＝a2+b2﹣2bi﹣1，且为纯虚数， ∴a2+b2﹣1＝0，且﹣2b≠0，
∴|z|＝
＝1．
故选：C． 4．（5 分）某人连续投篮 6 次，其中 3 次命中，3 次未命中．则他第 1 次、第 2 次两次均未 命中的概率是（ ）
交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：将 x＝±c 代入双曲线的方程得
，
则 2c＝ ，即有 ac＝b2＝c2﹣a2，由 e＝ ，可得：
e2﹣e﹣1＝0，
解得
．
故选：B． 6．（5 分）已知函数 f（x）＝sin2x+sin（2x+ ），将其图象向左平移 φ（φ＞0）个单位长度
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该几何体的体积为（ ）
A．
B．52
C．
D．56
【解答】解：由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体， 几何体的直观图如图：
其体积为
．
故选：D．
8．（5 分）我们知道欧拉数 e＝27182818284…，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程 序框图计算．当输入 i＝50 时，下列各式中用于计算 e 的近似值的是（ ）
） D．y＝sinx
对于 A，y＝x3﹣x，有 f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数， 对于 B，y＝e|x|，有 f（﹣x）＝f（x），为偶函数， 对于 C，y＝|lnx|，其定义域为（0，+∞），不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；
对于 D，y＝sinx，为正弦函数，是奇函数；
故选：C．
3．（5 分）已知 是复数 z 的共轭复数，（z+1）（ ﹣1）是纯虚数，则|z|＝（ ）
∴
．
18．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且∠DAB＝60°，平面 PAB ⊥平面 ABCD，点 E 为 BC 中点，点 F 满足 ＝ ，AP＝PB＝ AB＝ ．
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（1）求证：PC∥平面 DEF； （2）求二面角 F﹣DE﹣B 的余弦值．
【解答】证明：（1）连结 AC，交 DE 于点 G，连结 GF， 底面 ABCD 为菱形，且 E 为 BC 中点， ∴ ＝ ＝，
因此可设 PQ 中点 M（x0，y0）所在直线的方程为 x+2y+m＝0，
∴
＝
，解得 m＝1；
∴PQ 中点 M（x0，y0）所在直线的方程为 x+2y+1＝0，
联立
，解得
，
其交点为 N（﹣ ，﹣ ）；
∴kON＝ ；
令 ＝k，
∵PQ 中点为 M（x0，y0）满足 x0+2y0+1＝0，且 y0 ∴﹣ ＜k
，（0＜a＜ ），
解得 a＝
．
故答案为：
．
16．（5 分）已知点 P 在直线 x+2y﹣1＝0 上，点 Q 在直线 x+2y+3＝0 上，M（x0，y0）为 PQ
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的中点，且 y0＞2x0+1，则 的取值范围是 （﹣ ， ）
【解答】解：点 P 所在的直线 x+2y﹣1＝0 与点 Q 所在直线 x+2y+3＝0 平行，
当 n≥2 时，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
①﹣②得
，即
，
∵a1＝3 不满足上式，
∴
（2）依题意得
当 n＝1 时，T1＝a1b1＝3， 当 n≥2 时，Tn＝a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝3×1+3×1+32×2+…+3n﹣1×（n﹣1），
， 两式相减得：
＝
＝
，
．
显然当 n＝1 时，T1＝3 符合上式．
C．（2，3）
D．[2，3）
【解答】解：根据题意，集合 A＝{x|x2+x﹣6＜0}＝（﹣3，2），
又由 B＝（﹣2，2），则∁AB＝（﹣3，﹣2]； 故选：B．
2．（5 分）下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（
A．y＝x3﹣x
B．y＝e|x|
C．y＝|lnx|
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
（3x﹣2y）n 展开式中各项的二项式系数之和等于（ ）
A．16
B．32
C．64
D．128
【解答】解：∵（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反
数，
∴ •2n﹣1•（﹣3）＝﹣ •22•（﹣3）n﹣2，检验可得，n＝4，
则（3x﹣2y）n 展开式中各项的二项式系数之和等于 2n＝16， 故选：A． 11．（5 分）已知△ABC 中，AB＝AC＝3，sin∠ABC＝2sinA，延长 AB 到 D 使得 BD＝AB，
．
∴CD＝ ＝ ． 故选：C．
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12．（5 分）已知函数 f（x）＝cosπx，
（x1）＝g（x2），则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
B．
，若∃x1、x2∈[0，1]，使得 f
C．
D．
【解答】解：设 F、G 分别为函数 f（x）与 g（x）定义在区间上[0，1]上的值域，
则 F＝[﹣1，1]，当 a＞0 时，ea＞1，
，（其中 p、m 为常数），又 a1
＝a2＝3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn＝log3an，求数列{an•bn}的前 n 项和 Tn． 【解答】解：（1）由 a1＝a2＝3 得 3p+m＝6，2（a1+a2）＝9p+m＝12， 解得 p＝1，m＝3，
即
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
A．
B．
C．
D．
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【解答】解：某人连续投篮 6 次，其中 3 次命中，3 次未命中．
基本事件总数 n＝
＝20，
他第 1 次、第 2 次两次均未命中包含的基本事件个数 m＝
＝4，
∴他第 1 次、第 2 次两次均未命中的概率是 p＝ 故选：D．
＝．
5．（5 分）过双曲线
两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个
方程为 x﹣y﹣1＝0 ．
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的所有切线中，斜率为 1 的切线
【解答】解：由 f（x）＝sinx﹣cosx，得 f′（x）＝cosx+sinx＝
，
由
，得 sin（x+ ）＝ ，
∵
，∴x+ ∈（ ， ），
∴x+ ＝ ，即 x＝0．
∴切点为（0，﹣1），切线方程为 y+1＝x，即 x﹣y﹣1＝0． 故答案为：x﹣y﹣1＝0． 14．（5 分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有 我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人 成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第 2 名． 【解答】解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的， 乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件， 此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙， 若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件． 若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件． 故三人成绩从高到底为乙，甲，丙， 则甲排第 2 位， 故答案为：2
故 e 的近似值为（ ）51， 故选：B． 9．（5 分）在正三角形 ABC 中，AB＝2， ＝ ， ＝
，且 AD 与 BE 相交于点 O，
则 • ＝（ ）
A．﹣
B．﹣
【解答】解：由题意，画图如下：
C．﹣
D．﹣
设
∵ ∴可得方程组：
＝
，
．
＝
．
，解得：
．
∴
，
．
∴
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＝
＝
＝．
故选：B．
10．（5 分）（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则
2020年秦学教育高考数学模试卷一（理科）
参考答案与试题解析